Sanoq sistemasi

Sanoq sistemasi

Sanoq sistemasi — sonlarni yozma shaklda ifodalash usuli, ya’ni ma’lum bir sonlar to‘plamini belgilar yoki raqamlar yordamida muntazam va izchil tarzda tasvirlashga xizmat qiladigan matematik yozuv tizimidir.

Bir xil belgilar ketma-ketligi turli sanoq sistemalarida turlicha ma’noga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, "11" yozuvi o‘nlik sanoq sistemasida (bugungi kunda dunyoda eng keng qo‘llaniladigani) o‘n birni bildiradi, ikkilik sanoq sistemasida (zamonaviy kompyuterlarda ishlatiladi) uchni anglatadi, birdanlik sanoq sistemasida esa (hisob-tayoq usulida) ikki soniga teng bo‘ladi.

Belgining ifodalagan soni uning qiymati deb ataladi. Barcha sanoq sistemalari ham bir xil sonlar to‘plamini ifodalab bera olmaydi; masalan, Rim, Yunon yoki Misr raqamlarida nol uchun maxsus belgi mavjud emas.

Ideal sanoq sistemasi quyidagilarga ega bo‘lishi kerak:

• Foydali sonlar to‘plamini ifodalash (masalan, barcha butun yoki ratsional sonlar)
• Har bir songa yagona, aniq ifoda berish (yoki hech bo‘lmasa standart yozuv)
• Sonlarning algebraik va arifmetik xususiyatlarini aks ettirish

Masalan, odatiy o‘nlik sanoq sistemasida nol bo‘lmagan har qanday natural son boshida nol bo‘lmagan raqamdan boshlanadigan chekli raqamlar ketma-ketligi orqali yagona tarzda ifodalanadi.

Ba’zan sanoq sistemalari son sistemalari deb ham ataladi. Ammo bu atama aniq emas, chunki u boshqa turdagi matematik sistemalarni ham anglatishi mumkin: masalan, haqiqiy sonlar sistemasi, murakkab sonlar sistemasi, giperkompleks sonlar sistemalari, p-adik sonlar sistemasi va hokazo. Biroq bu maqola bunday sistemalar haqida emas.

Tarix

Olimlarning fikricha, dastlabki sanoq sistemalari turli sivilizatsiyalarda turlicha bo‘lgan: bobiliklar 60-lik sistemadan foydalangan, misrliklar iyeroglif raqamlarni ishlab chiqqan, xitoyliklar tayoqcha raqamlaridan foydalanishgan. Mayyalar esa mustaqil ravishda 20-lik (vigesimal) sistemani yaratib, unda nol uchun maxsus belgi ham qo‘shganlar.

Hind matematiklari, jumladan, milodiy VII asrda yashagan Braxmagupta, arifmetik qoidalarni tizimlashtirishda va nol tushunchasini shakllantirishda muhim rol o‘ynadi. Keyinchalik islom olamidagi olimlar, xususan Al-Xorazmiy bu g‘oyalarni yanada rivojlantirdilar. Sanoq sistemalari rivojlanib borgani sayin, pozitsion yozuvning samaradorligi va nolning qo‘shilishi zamonaviy son yozuvining shakllanishiga, hamda jahon savdosi, fan va texnologiyaga katta ta’sir ko‘rsatdi.

Birinchi haqiqiy yozma pozitsion sanoq sistemasi hind–arab sanoq sistemasihisoblanadi. Bu sistema VII asrda Hindistonda shakllangan^[1], biroq hali zamonaviy ko‘rinishda emas edi, chunki nol raqami keng qabul qilinmagan edi. Nol o‘rniga ba’zan nuqta belgisi ishlatilgan, yoki bo‘sh joy qoldirilgan. Nolning birinchi keng qabul qilingan ishlatilishi876-yilga to‘g‘ri keladi^[2]. Asl raqamlar shaklan hozirgi raqamlarga juda yaqin bo‘lib, hatto belgilar ham deyarli o‘xshash edi^[1].

XIII asrga kelib, g‘arbiy arab raqamlari Yevropa matematik doiralarida qabul qilina boshladi. Masalan, Fibonachchi ularni o‘ziningLiber Abaci asarida ishlatgan. Avvaliga qarshilikka uchragan bo‘lsa-da, hind–arab raqamlari amaliy hisoblashdagi qulayligi tufayli, ayniqsa bank va savdoda, Yevropada keng tarqaldi.

XV asrda bosmaxona ixtiro qilinishi bilan bu raqamlarning qo‘llanilishi yanada standartlashdi, chunki bosma matematik kitoblar Rim raqamlariga qaraganda shu sistemani afzal ko‘rdi. XV asr oxiriga kelib ular oddiy hayotga keng kirib keldi^[3]. XX asr oxiriga borib esa deyarli butun dunyoda, kompyuterlashtirilmagan barcha hisob-kitoblar arab raqamlari bilan bajariladigan bo‘ldi, mahalliy sanoq sistemalari esa deyarli butunlay siqib chiqarildi.

XVII asrda bu sistema ilmiy asarlarda hukmronlik qila boshladi vaIsaak Nyuton hamda Rene Dekart kabi olimlarning matematik kashfiyotlariga ta’sir ko‘rsatdi. XIX–XX asrlarda arab raqamlarining keng joriy etilishi global moliya, muhandislik va texnologiyaning rivojiga xizmat qildi, hamda zamonaviy kompyuter va raqamli ma’lumotlarni ifodalashning poydevorini yaratdi.

Raqamlardan foydalangan boshqa tarixiy sanoq sistemalari

Maya raqamlarining aniq yoshi noma’lum, biroq ular hind–arab sistemadan ham qadimiy bo‘lishi mumkin. Bu sistema vigesimal (20-lik) bo‘lib, yigirma xil raqamdan iborat edi. Mayyalar nolni ifodalash uchun chig‘anoq shaklidagi belgidan foydalanishgan. Raqamlar vertikal tarzda yozilgan, birliklar pastki qismda joylashgan bo‘lgan. Mayyalarda zamonaviy o‘nlik vergulga o‘xshash belgi bo‘lmagan, shu sababli ularning sistemasi kasr sonlarni ifodalay olmagan.

Tay raqamlari sistemasi hind–arab sanoq sistemasi bilan deyarli bir xil, faqat raqamlarni ifodalovchi belgilar boshqacharoq. Bu belgilar Taylandda avvalgidek keng qo‘llanilmaydi, biroq ular arab raqamlari bilan yonma-yon hanuz ishlatilmoqda.^[4]

Tayoqcha raqamlar — xitoy va yapon matematiklari bir vaqtlar foydalangan yozma shakl bo‘lib, bu o‘nlik pozitsion sistema hisoblashlarda ishlatilgan. Tayoqchalar hisoblash doskasiga qo‘yilib, oldinga yoki orqaga surish orqali raqamning o‘nlik razryadi o‘zgartirilgan.

Milodiy 3–5-asrlarga oid Sūnzĭ Suànjīng matematik risolasi bu sistemaga oid batafsil ko‘rsatmalar beradi. Olimlar bu usul miloddan avvalgi IV asrdan boshlab ishlatilgan bo‘lishi mumkin, deb hisoblashadi.^[5] Dastlab nol son sifatida emas, balki bo‘sh pozitsiya sifatida qaralgan.^[6] Keyinchalik manbalarda nol va manfiy sonlarni ifodalash uchun maxsus qoidalar joriy qilingan.

Nol uchun yumaloq belgi 〇ning ilk ishlatilishi 1247-yildagi To‘qqiz bo‘limli matematik risolada qayd etilgan.^[7] Bu belgi qayerdan kelib chiqqani noma’lum; ehtimol, kvadrat shaklli belgini o‘zgartirish orqali hosil qilingan bo‘lishi mumkin^[8]. Suzhou raqamlari esa, tayoqcha raqamlaridan kelib chiqqan bo‘lib, ayrim savdo maqsadlarida bugungi kunda ham ishlatiladi.

Asosiy sanoq sistemalari

Eng keng tarqalgan sanoq sistemasi — o‘nlik (decimal) sistemasidir. Butun sonli variantini ishlab chiqishda hind matematiklari, xususan,hind–arab raqamlar sistemasini yaratishda muhim rol o‘ynashgan.^[8] Kusumapuralik Aryabhata V asrda razryad qiymati yozuvini ishlab chiqqan, bir asr o‘tib esa Brahmagupta nol belgisi kiritgan. Bu sistema asta-sekin Hindiston bilan savdo va harbiy aloqalar tufayli Arabiston va boshqa qo‘shni hududlarga tarqalgan. O‘rta Sharq matematiklari sistemani kengaytirib, 10 ning manfiy darajalarini (ya’ni kasrlarni) ham qo‘shdilar. Bu haqida 952–953-yillarda suriyalik matematik Abu-l-Hasan al-Uqlidisining risolasida qayd etilgan. Kasrlarni ifodalash uchun o‘nlik nuqta yozuvi esa Sind ibn Ali tomonidan kiritilgan bo‘lib, u arab raqamlari haqida dastlabki risolani ham yozgan. Keyinchalik hind–arab raqamlari savdo orqali Yevropaga kirib bordi va yevropaliklar ularni “arab raqamlari” deb atadilar, chunki ularni arablar orqali o‘rgandilar.

Eng oddiy sanoq sistemi — bu birlik (unary) sistemasi bo‘lib, unda har bir natural son mos belgilar soni bilan ifodalanadi. Masalan, agar belgi sifatida / tanlansa, unda yetti soni /////// ko‘rinishida yoziladi. Sanash chiziqlari (tally marks) shunday sistemaning hozirgacha keng tarqalgan ko‘rinishidir. Birlik sistemi faqat kichik sonlar uchun qulay, biroq nazariy informatika uchun muhim ahamiyatga ega. Masalan, ma’lumotlarni siqishda keng qo‘llaniladigan Elias gamma kodlash usuli, binar raqamning uzunligini ko‘rsatishda unary kodlashdan foydalanadi.

Birlik yozuvi maxsus belgilarni kiritish orqali qisqartirilishi mumkin. Odatda bu qiymatlar 10 ning darajalari bo‘ladi. Masalan, / — 1, − — 10, + — 100 deb olinsa, unda 304 soni +++ ////, 123 soni esa + − − /// ko‘rinishida ifodalanishi mumkin, nolga ehtiyoj sezilmasdan. Bunday usul belgi–qiymat yozuvi (sign-value notation) deyiladi. Qadimgi Misr sanoq sistemi shunday turga mansub bo‘lsa, Rim raqamlari esa uning o‘zgartirilgan shaklidir.

Yana ham qulayroq bo‘lishi uchun belgilar takrorlanishini maxsus qisqartirishlar yordamida ifodalash mumkin. Masalan, alifboning dastlabki to‘qqiz harfini ishlatib, A — “bir marta”, B — “ikki marta” degan ma’noni anglatgan holda, 304 sonini C+ D/ tarzida yozish mumkin bo‘ladi. (Bu qisqartirishlar soni ba’zan sistemaning asosiy “bazasi” deb ataladi). Bunday sistema xitoy raqamlari va ularga asoslangan boshqa Sharqiy Osiyo raqamlarida ishlatiladi. Ingliz tilidagi son tizimi ham shu turga kiradi (“three hundred four” — uch yuz to‘rt), shuningdek, ko‘plab boshqa tillarda ham shunday. Biroq ayrim tillarda turli asoslar aralashib ketadi: masalan, fransuzchada 79 sonisoixante dix-neuf (60 + 10 + 9), uels tilida esapedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) tarzida ifodalanadi. Inglizchada esa “four score less one” (to‘rt × 20 − 1) kabi iboralar ishlatilgan, mashhur Gettysburg nutqida “87 yil muqaddam” deganda shunday ifoda qo‘llangan edi.

Eng mukammali esa pozitsion (razryadli) sistema bo‘lib, u razryad qiymati yozuvi sifatida ham tanilgan. Bunday sistemalar o‘z asosiga (radix) qarab tasniflanadi. Masalan, o‘nlik sistemada 0 dan 9 gacha bo‘lgan o‘nta raqam ishlatiladi va raqamning joylashuvi uning 10 ning qaysi darajasi bilan ko‘paytirilishini bildiradi: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, aniqroq yozsak 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Boshqa sistemalarda nol shart emas, ammo pozitsion sistemada u juda muhim, chunki u “razryadlarni tashlab ketish” imkonini beradi. Bugungi kunda butun dunyoda ishlatilayotgan hind–arab sistemasi — 10 asosli pozitsion sistemadir.

Aritmetik amallarni pozitsion sistemalarda bajarish qo‘shuvchi sistemalarga nisbatan ancha oson. Qo‘shuvchi sistemalarda 10 ning har bir darajasi uchun turli belgilar kerak bo‘ladi, pozitsion sistemada esa (10 asosida) atigi 10 xil belgi kifoya qiladi.^[10]

Hozirda insonlar yozuvda deyarli faqat pozitsion o‘nlik sistemadan foydalanadilar. Shuningdek, ayrim hollarda 1000 asosi ham ishlatiladi (lekin umumiy emas), bunda raqamlar uchlik guruhlarga ajratiladi: masalan, 1,000,234,567.

Kompyuterlarda esa asosiy sistema — 2 asosli pozitsion sistema (binar). U faqat ikkita raqamga — 0 va 1 ga asoslanadi. Binar raqamlarni uchlikka guruhlash orqali 8 asosli (octal), yoki to‘rtlikka guruhlash orqali 16 asosli (hexadecimal) sistemalar yaratiladi. Juda katta butun sonlar uchun esa 2³² yoki 2⁶⁴ asosli sistemalar ishlatiladi, masalan, GMP dasturiy kutubxonasida.

Ba’zi biologik tizimlarda ham birlik sistemi qo‘llaniladi. Masalan, qushlarning sayrashiga javob beruvchi nerv zanjirlarida unary kodlash ishlatiladi. Qush miya yadrosidagi HVC (high vocal center) markazi nafaqat o‘rganishda, balki qo‘shiq ijrosida ham ishtirok etadi. HVCning turli nuqtalaridan turli notalar uchun signal chiqadi. Bunday kodlash “fazoviy kodlash” bo‘lib, biologik tizimlar uchun samarali strategiya hisoblanadi, chunki u oddiy va barqarordir.

Raqamlar, ya’ni belgilar orqali yoziladigan sonlar ikki turga bo‘linadi: arifmetik raqamlar (0, 1, 2, ..., 9) va geometrik raqamlar (1, 10, 100, 1000, ...). Belgi–qiymat sistemalari faqat geometrik raqamlardan, pozitsion sistemalar esa faqat arifmetik raqamlardan foydalanadi. Belgi–qiymat sistemasida arifmetik raqamlar kerak emas, chunki ular takrorlash orqali hosil qilinadi, pozitsion sistemada esa geometrik raqamlar kerak emas, chunki ular joylashuv orqali yaratiladi. Ammo og‘zaki tilda odatda har ikkala tur ham ishlatiladi.

Informatikaning ayrim sohalarida bijektiv sanash deb ataluvchi, o‘zgartirilgan k-asosli pozitsion sistema qo‘llaniladi. Unda raqamlar 1, 2, ..., k ko‘rinishida bo‘lib, nol bo‘sh satr bilan ifodalanadi. Bu usul barcha sonlar va raqamli satrlar o‘rtasida bir qiymatli moslikni (bijection) ta’minlaydi va ortiqcha nol sababli yuzaga keladigan noaniqlikni bartaraf etadi. Bijektiv k-asosli sistema ba’zan k-adic notation deb ham ataladi (uni p-adic sonlar bilan adashtirmaslik kerak). Bijektiv 1-asosli sistema oddiy birlik sistemasiga tengdir.

Pozitsion sistemalar tafsilotlari

Pozitsion asos b ga ega bo‘lgan sanoq sistemasida (b — 1 dan katta bo‘lgan natural son bo‘lib, sistema asosini bildiradi)b ta asosiy belgi (raqam) ishlatiladi. Bu belgilar 0 dan b – 1 gacha bo‘lgan natural sonlarni ifodalaydi. Qolgan sonlarni hosil qilishda belgining o‘rni (pozitsiyasi) hisobga olinadi: oxirgi o‘rinda turgan belgi o‘z qiymatiga ega, chapga qarab siljigan sari qiymati b ga ko‘paytiriladi.

Masalan, o‘nlik sistemada (asos 10) 4327 soni quyidagicha yoziladi: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), bunda 10⁰ = 1.

Umuman, agar b asos bo‘lsa, unda son quyidagicha yoziladi:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + aₙ₋₂bⁿ⁻² + ... + a₀b⁰va raqamlar aₙ aₙ₋₁ ... a₀tartibda chapdan o‘ngga yoziladi. Bu yerda raqamlar 0 dan b – 1 gacha bo‘lgan natural sonlardir.

Agar matnda bir nechta asoslar haqida so‘z borsa, chalkashlikni oldini olish uchun sonning yoniga past indeksda asos yoziladi:sonasos. Indekssiz yozilgan sonlar odatda o‘nlik deb qabul qilinadi.

Raqamlarni nuqta yordamida ikki qismga bo‘lib, kasr sonlarni ham yozish mumkin. Masalan, 2 asosidagi 10.11 soni: 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75 ga teng.

Umuman olganda, b asosli sistemadagi sonlar quyidagi shaklda yoziladi:

Bu yerda bᵏ va b⁻ᵏ qiymatlar tegishli raqamlarning vaznlari hisoblanadi.k o‘rni mos vazn w ning logarifmidir, ya’ni. Eng katta o‘rin sonning tartib darajasiga yaqin bo‘ladi.

Birlik sistemasida (unary) vaznni ifodalash uchun w ta belgi kerak bo‘lardi. Pozitsion sistemada esa buning uchun atigita raqam kifoya qiladi (k ≥ 0 uchun). Masalan, 1000 vaznini ifodalash uchun 4 ta raqam yetadi, chunkilog10 1000 + 1 = 3 + 1. O‘rinni ifodalash uchun kerak bo‘ladigan raqamlar soni ga teng (soddalashtirish uchun o‘nlik sistemada 1, 10, 100,... misol qilingan).

Sonning chekli yoki davriy yozilishi faqat u ratsional bo‘lsa mumkin; bu asosga bog‘liq emas. Bir asosda tugaydigan son boshqa asosda davriy bo‘lishi mumkin (masalan, 0.3₁₀ = 0.0100110011001...₂). Irratsional son esa barcha asoslarda davriy bo‘lmagan cheksiz yozuvga ega bo‘ladi. Masalan, 2 asosida π = 3.1415926...₁₀ quyidagicha yoziladi: 11.001001000011111...₂.

Davriy kasrlarni yozishda takrorlanuvchi raqamlar ustiga chiziq (n) yoki nuqta (ṅ) qo‘yish qabul qilingan. Masalan:
14/11 = 1.272727272727... = 1.27321.3217878787878... = 321.32178

Agar b = p tub son bo‘lsa, cheksiz chapga kengayuvchi p-asosli sonlarni ta’riflash mumkin; ular p-adik sonlar deb ataladi.

Shuningdek, asos b varianti ham mavjud bo‘lib, unda raqamlar musbat yoki manfiy bo‘lishi mumkin; bu imzoli raqamli yozuv deb ataladi.

Umumlashtirilgan o‘zgaruvchan uzunlikdagi butun sonlar

Bundan ham umumiyroq yondashuv — aralash asosli yozuvdan foydalanishdir (bu yerda little-endian shaklida yozilgan), masalan: a₀a₁a₂ quyidagiga teng bo‘ladi: a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂ va hokazo.

Bu usul Punycode’da qo‘llaniladi. Uning mohiyatlaridan biri — ixtiyoriy kattalikdagi manfiy bo‘lmagan sonlar ketma-ketligini ajratkichsiz yozishdir. Bunda 36 ta belgidan iborat “raqamlar” ishlatiladi: a–z va 0–9, ular mos ravishda qiymatlarni 0–25 va 26–35 ifodalaydi.

Shuningdek, har bir pozitsiya uchun oldindan belgilangan t₀, t₁, ... kabi chegaraviy qiymatlar ham mavjud. Agar raqam aᵢ o‘z pozitsiyasi uchun belgilangan chegaradan kichik bo‘lsa, u eng katta ahamiyatli raqam hisoblanadi. Demak, bu belgining o‘zi sonning oxiri ekanini bildiradi va keyingi belgi (agar mavjud bo‘lsa) yangi sonning eng kichik raqami bo‘ladi.

Masalan, agar birinchi raqam uchun chegaraviy qiymat b = 1 bo‘lsa, unda a = 0 sonning tugaganini bildiradi (ya’ni u faqat bitta raqamdan iborat). Demak, bir nechta raqamdan iborat sonlarda birinchi raqamning oralig‘i faqat b–9 (1–35) bo‘ladi. Bu holda birinchi og‘irlik b₁ = 35 bo‘ladi (36 emas). Umuman, agar tₙ n-chi raqam uchun chegara bo‘lsa, quyidagisi hosil bo‘ladi:
bₙ₊₁ = 36 − tₙ

Faraz qilaylik, ikkinchi va uchinchi raqamlar uchun chegaraviy qiymat c = 2 bo‘lsin. Unda ikkinchi raqamning oralig‘i, agar u eng katta ahamiyatli raqam bo‘lsa, a–b (0–1), agar uchinchi raqam mavjud bo‘lsa, c–9 (2–35) bo‘ladi. Umuman olganda, (n + 1)-raqamning og‘irligi avvalgisining og‘irligiga 36 − tₙ ni ko‘paytirish orqali topiladi.

Masalan:
2-raqamning og‘irligi = 36 − t₀ = 35
3-raqamning og‘irligi = 35 × (36 − t₁) = 35 × 34 = 1190

Demak, bizda quyidagi 3 raqamdan oshmagan sonlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 9a (35), bb (36), cb (37), ..., 9b (70), bca (71), ..., 99a (1260), bcb (1261), ..., 99b (2450)

Oddiy n-asosli sanoq sistemasidan farqli o‘laroq, bu yerda 9b kabi sonlar mavjud, bunda 9 ham, b ham 35 ni bildiradi. Shunga qaramay, yozilish yagona bo‘lib qoladi, chunki ac yoki aca kabi yozuvlarga ruxsat berilmaydi — ularning birinchi a belgisi sonning tugaganini bildirgan bo‘lur edi.

Chegaraviy qiymatlarni moslab olish imkoniyati turli kattalikdagi sonlarning uchrashish chastotasiga qarab raqamlar sonini optimallashtirish imkonini beradi.

Agar barcha chegaraviy qiymatlar 1 ga teng bo‘lsa, bu holat bijektiv sanoq sistemasiga mos keladi. Unda nol belgilar raqamlari noldan farqli bo‘lgan sonlarni ajratib turuvchi ajratkich vazifasini bajaradi.