logo

Hasaplaýyş sistemasy

Hasaplaýyş sistemasy — sanlary ýazuw görnüşinde görkezmegiň usuly, ýagny belli bir sanlar toplumyny belgiler ýa-da sanlar arkaly yzygiderli we tertipli görnüşde görkezýän matematik ýazuw sistemasydyr.

Birmeňzeş belgiler yzygiderligi dürli hasaplaýyş sistemalarynda dürli many berip biler. Mysal üçin, "11"onluk hasaplaýyş sistemasynda (häzirki wagtda dünýäde iň giň ýaýran) on bir sanlaryny aňladýar, ikilik hasaplaýyş sistemasynda (häzirki zaman kompýuterlerinde ulanylýar) üç sanlaryny görkezýär, birlik hasaplaýyş sistemasynda bolsa (hasap-çyzgy usulynda) iki sanlaryna deňdir.

Sanlaryň görkezýän manysy onuň bahasy diýilýär. Ähli hasaplaýyş sistemalary birmeňzeş san toplumyny görkezmäge ukyply däl; mysal üçin, Rim, Gresiýa we Müsür sanlarynda nol üçin aýratyn belgi ýok.

Ideal hasaplaýyş sistemasy aşakdaky häsiýetlere eýe bolmaly:

  • Peýdaly san toplumyny görkezmek (mysal üçin, ähli bitin ýa-da rationallary)
  • Her bir sana özboluşly, anyk görkezme bermek (ýa-da iň bolmanda standart görnüşde)
  • Sanlaryň algebra we arifmetiki gurluşyny görkezmek

Mysal üçin, adaty onluk hasaplaýyş sistemasynda nol bilen deň bolmadyk her bir tebigy san, başy nol bolmadyk san bilen başlanýan çäkli sanlaryň yzygiderligi arkaly özboluşly görkezilýär.

Käwagt hasaplaýyş sistemalaryna sanlar sistemasy diýlip hem at berilýär. Ýöne bu atlama anyk däl, sebäbi ol başga matematik sistemalary hem aňladyp biler: hakyky sanlar sistemasy, kompleks sanlar sistemasy, dürli giperkompleks sistemalar, p-adik sanlar sistemasy we ş.m. Emma bu makala şeýle sistemalar barada däl.

Taryh

Alymlaryň pikirine görä, ilkinji hasaplaýyş sistemalary dürli medeniýetlerde dürli görnüşde bolupdyr: babililer 60-lyk hasaplaýyş sistemasyny ulanypdyr, misirliler hieroglif sanlaryny döredipdir, hytaýlylar taýajyk sanlary ulanypdyr. Maýylar bolsa özbaşdak 20-lik hasaplaýyş sistemasyny döredip, onuň içine nol üçin ýörite alamat goşupdyrlar.

maya

Hindistanly matematikler, meselem VII asyrda ýaşan Brahmagupta, arifmetiki düzgünleri sistemasyna salmakda we nol düşünjesini ornaşdyrmakda möhüm rol oýnapdyr. Soňra yslam dünýäsindäki alymlar, şol sanda Al-Horezmi, bu pikirleri ösdüripdir. Hasaplaýyş sistemalary ösdürilen saýyn, pozision ýazuwyň peýdalylygy we noluň girizilmegi häzirki zaman san ýazuwynyň emele gelmegine, dünýä söwdasyna, ylyma we tehnologiýa uly täsirini ýetiripdir.

Ilkinji hakyky pozision ýazuw sistemasy hind–arap hasaplaýyş sistemasy hasaplanýar. Bu hasaplaýyş sistemasy VII asyrda Hindistanda emele gelipdir[1], emma häzirki görnüşinde däl eken, sebäbi nol giňden kabul edilmedik. Noluň ýerine käte nokat goýlupdyr ýa-da boş ýer galdyrylypdyr. Noluň ilkinji giňden kabul edilen ulanylyşy 876-njy ýylda bolupdyr[2]. Ilkinji sanlar häzirki sanlara gaty meňzeş bolupdyr, hatda belgiler hem diýen ýaly şol bir bolupdyr[1].

XIII asyra çenli günbatar arap sanlary Ýewropanyň matematik gurşawynda kabul edilip başlan. Meselem, Fibonachchi olary özLiber Abaci atly eserinde ulanypdyr. Başynda garşylyk bolsa-da, hind–arap sanlary hasaplamadaky amatlylygy sebäpli, esasan bank we söwda ulgamynda, Ýewropada giňden ýaýrapdyr.

XV asyrda metbugat maşynynyň oýlanyp tapylmagy bu sanlaryň ulanylyşyny standartlaşdyrypdyr, sebäbi çap edilen matematik kitaplar Rim sanlaryna garanyňda bu hasaplaýyş sistemasyny saýlapdyr. XV asyryň ahyryna çenli olar gündelik durmuşda giňden ulanylypdyr[3]. XX asyryň ahyryna çenli dünýäniň ähli ýerinde kompýutersiz hasaplamalar arap sanlary bilen ýerine ýetirilipdir, ýerli hasaplaýyş sistemalary bolsa diýen ýaly ulanyşdan çykypdyr.

XVII asyrda bu hasaplaýyş sistemasy ylmy işlerde agdyklyk edipdir weIsaak Nýuton hem-de Rene Descartes ýaly alymlaryň matematik açyşlaryna täsirini ýetiripdir. XIX–XX asyrlarda arap sanlarynyň giňden ýaýramagy dünýä maliýe, inženerçilik we tehnologiýanyň ösmegine ýol açyp, häzirki zaman kompýuteriniň we sanly maglumat görkezmegiň düýbüni tutupdyr.

Sifrleri ulanan beýleki taryhy hasaplaýyş sistemalary

maya

Maya sanlarynyň takyk ýaşynyň nämedigi belli däl, emma olaryň hindi–arap hasaplaýyş sistemasyndan hem köne bolmagy mümkin. Bu hasaplaýyş sistemasy vigesimal (20-lik) bolup, ýigrimi sany belgi öz içine alýardy. Mayalar noly görkezmek üçin gabyk nyşanyny ulanypdyrlar. Sanlar dik ýazylýar we birlikler aşakda ýerleşdirilýärdi. Mayalarda häzirki onluk bölüjä meňzeş nyşan bolmansoň, olaryň hasaplaýyş sistemasy kesirleri görkezmeýärdi.

Tailand sanlary sistemasy hindi–arap hasaplaýyş sistemasy bilen deňdir, diňe belgiler başgaça. Bu sanlaryň ulanylyşy Tailandda öňküsi ýaly giň däl, emma henizem arap sanlary bilen bilelikde ulanylýar.[4]

rods

Taýajyk sanlary — hytaýly we ýapon matematikleri tarapyndan ulanylan ýazuw görnüşleri bolup, olar onluk pozision hasaplaýyş sistemasynda hasaplamalary ýerine ýetirmek üçin peýdalanylypdyr. Taýajyklar hasap doskasyna goýulyp, öňe ýa-da yza süýşürilip, onluk dereje üýtgedilýärdi.

Biziň eramyzdan III–V asyrlaryna degişli Sūnzĭ Suànjīng atly matematiki eser bu hasaplaýyş sistemasy barada giňişleýin görkezme berýär. Onuň b.e.öňki IV asyrdan bäri ulanylyp gelendigi çak edilýär.[5] Ilki başda nol san hasaplanman, boş ýer hökmünde kabul edilipdir.[6] Soňky çeşmelerde nol we otrisatel sanlary görkezmek düzgünleri girizilipdir.

Nol üçin tegelek nyşanyň 〇ilkinji ulanylyşy 1247-nji ýylda ýazylan Toguz bölümdäki matematiki risala-da bellige alnypdyr.[7] Bu nyşanyň gelip çykyşy belli däl; belki, kwadrat nyşany üýtgetmek arkaly emele gelen bolmagy mümkin[8]. Suzhou sanlary — taýajyk sanlarynyň dowamy bolup, häzirki wagtda hem käbir söwda maksatly ulanylýar.

Esasy hasaplaýyş sistemalary

Iň giňden ulanylýan hasaplaýyş sistemasy — onluk (decimal) sistemadyr. Onuň bitin görnüşini işläp taýýarlamakda hindi matematikleri uly rol oýnapdyr, olar hindi–arap hasaplaýyş sistemasyni döredipdir.[8] V asyrda Aryabhataornuň bahasyny görkezýän ýazuwy döredipdir, bir asyr soň Brahmagupta nol nyşanyny girizipdir. Bu hasaplaýyş sistemasy söwda we harby gatnaşyklar arkaly Arap ýurtlaryna ýaýrapdyr. Ýakyn Gündogar alymlary ony giňeldip, 10-nyň otrisatel derejelerini (kesir sanlary) hem goşupdyr. Bu barada 952–953 ýyllarda siriýaly alym Abu-l-Hasan al-Uklidisi ýazypdyr.Sind ibn Ali onluk nokat ýazuwyny girizip, arap sanlary hakynda ilkinji risala ýazypdyr. Soň bu hasaplaýyş sistemasy söwdagärler arkaly Ýewropa ýaýrap, ol ýerde “arap sanlary” diýlip atlandyrylypdyr.

Iň ýönekeý hasaplaýyş sistemasy — birlik (unary) hasaplaýyş sistemasydyr. Bu ýerde her tebigy san degişli belginiň sany bilen görkezilýär. Mysal üçin, belgi / bolsa, 7 sany /////// görnüşinde ýazylýar. Hasap çyzgylary (tally marks) şeýle hasaplaýyş sistemasynyň häzirki wagta çenli ulanylýan mysalydyr. Birlik hasaplaýyş sistemasynyň peýdasy diňe kiçi sanlar üçin bar, ýöne nazary informatika üçin möhüm ähmiýete eýe.

Birlik ýazuwyny täze bahalar üçin aýratyn belgiler bilen gysgaldyp bolar. Köplenç bu bahalar 10-njy güýçlerdir. Mysal üçin, / — 1, − — 10, + — 100 bolsa, 304 sany +++ //// görnüşinde, 123 sany + − − /// görnüşinde ýazylýar. Bu usul belgi–baha ýazuwy diýilýär. Gadymy Müsür hasaplaýyş sistemasy şu tipden bolupdyr, Rim sanlary bolsa onuň üýtgedilen görnüşidir.

Has amatly hasaplaýyş sistemalary hem bar, olar belgileriň gaýtalanmagyny ýörite gysgaltmalar arkaly görkezýärler. Mysal üçin, ilkinji dokuz harpy A — “bir gezek”, B — “iki gezek” hökmünde ulanyp, 304 sany C+ D/ görnüşinde ýazyp bolar. Şeýle hasaplaýyş sistemasy Hytaý we beýleki Gündogar Aziýa sanlarynda ulanylýar. Iňlis dilindäki hasaplaýyş sistemasy hem şu tipe girýär (“three hundred four”).

Iň kämili — pozision hasaplaýyş sistemadyr. Hasaplaýyş sistemalary öz esasyna görä klassifikasiýa edilýär. Onluk hasaplaýyş sistemasynda 0–9 arasy sanlar ulanylýar we sanyň orny onuň haýsy 10-njy güýç bilen köpeldiljekdigini görkezýär: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 = 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Bu ýerde nol möhüm rol oýnaýar, sebäbi ol orunlary “geçmäge” mümkinçilik berýär.

Arifmetik amallar pozision hasaplaýyş sistemasynda has aňsat ýerine ýetirilýär. Goşmaça sistemalarda dürli belgiler gerek, emma pozision onluk hasaplaýyş sistemasynda diňe 10 belgi ýeterlikdir.

Pozision hasaplaýyş sistemalarynyň jikme-jigi

Pozision b esasly hasaplaýyş sistemasynda (b — 1-den uly tebigy san, sistemasynyň esasy ýa-da radiksi diýilýär) ilkinji b tebigy sana laýyk b nyşan (sifr) ulanylýar. Galan sanlar nyşanyň ýerleşişine bagly: iň sagdaky nyşan öz bahasyna deň, çepe süýşdükçe bahasy b-e köpeldilýär.

Mysal üçin, onluk hasaplaýyş sistemasynda (esas 10) 4327 = (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), bu ýerde 10⁰ = 1.

Umumy görnüşde san şeýle ýazylýar:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰, sifrler aₙ aₙ₋₁ ... a₀ tertipde görkezilýär. Sifrler 0-dan b – 1-e çenli bolýar.

Esaslar dürli bolsa, san esasy aşak indeksde görkezilýär:sanesas. Indeks görkezilmese, san onluk diýip hasap edilýär.

Nokat arkaly bitin we kesir sanlary hem ýazyp bolýar. Mysal üçin, 2 esasly 10.11 = 2.75.

Umumy formula:f1

bᵏ we b⁻ᵏ sanlaryň agram bahasydyr. Orun k — şol agramyň logaritmi. Iň ýokary orun sanyň tertibine gabat gelýär.

Birlik hasaplaýyş sistemasynda agram üçin w nyşan gerek bolardy. Pozision hasaplaýyş sistemasynda diňe logbw + 1 sifr ýeterlik. Mysal üçin, 1000 üçin 4 sifr gerek, sebäbi log₁₀1000 + 1 = 4.

Rasionallaryň ýazgysy ýa soňlanýar, ýa-da periodik bolýar. Irrasionallar bolsa ähli esaslarda çäksiz we gaýtalanmaz bolýar.

Periodik sanlary görkezmek üçin üstünden çyzyk (n) ýa-da nokat goýulýar. Mysal üçin: 14/11 = 1.2727...

Eger b = p ýönekeý san bolsa, çepe tarap çäksiz dowam edýän p-adik sanlar kesgitlenýär.

Şeýle hem, sifrler oňyn ýa-da otrisatel bolup bilýän esas görnüşleri bar; bu belgili-sifr görkezilişi diýilýär.

Umumlaşdyrylan üýtgeýän uzynlykly bitin sanlar

Has umumy usul — garyşyk esasly ýazgy ulanylýar (little-endian görnüşinde). Mysal üçin: a₀a₁a₂ = a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂.

Bu Punycode’da ulanylýar. Onda dürli ululykdaky otrisatel däl bitin sanlaryň yzly-yzyna tertibi 36 nyşandan (a–z we 0–9) emele gelen “sifrler” arkaly ýazylýar. Olaryň bahalary 0–25 we 26–35 bolýar.

Şeýle hem her orun üçin kesgitlenen t₀, t₁, ... ýaly çäk bahalary bar. Eger aᵢ çäkden kiçi bolsa, ol iň möhüm sifr bolýar. Bu bolsa sanyň tamamlandygyny görkezýär, indiki nyşan bolsa täze sanyň iň kiçi sifrasydyr.

Mysal üçin, ilkinji sifr üçin b = 1 bolsa, a = 0 sanyň soňudyr. Köp sanlylykda ilkinji sifr diňe 1–35 bolup biler. Şonda b₁ = 35 bolýar. Umumy görnüş: bₙ₊₁ = 36 − tₙ.

Ikinji we üçünji sifr üçin çäk bahasy c = 2 bolsa, onda ikinji sifr 0–1 ýa-da 2–35 bolup biler. Adatça (n+1)-nji sifriň agramy öňküniň agramyna 36 − tₙ köpeldilýär.

Mysal üçin:
2-nji nyşanyň agramy = 36 − t₀ = 35
3-nji nyşanyň agramy = 35 × (36 − t₁) = 1190

Şeýlelikde, iň köp 3 sanlylykda yzly-yzyna şeýle sanlar bolýar:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 99b (2450)

Adaty n-esasly hasaplaýyş sistemasyndan tapawutlylykda, bu ýerde 9b bar, 9 hem, b hem 35 bahasyny berýär. Ýöne ýazgy ýeke-täkdir, sebäbi ac ýa-da aca kabul edilmeýär.

Çäk bahalaryny saýlamak mümkinçiligi dürli ululykdaky sanlaryň ýygylygynyň hasaplanmagyna görä optimizasiýa berýär.

Hemme çäk bahalary 1-e deň bolsa, bu bijektiw hasaplaýyş sistemasyny aňladýar, nollar aýyryjy hökmünde hyzmat edýär.

© wikipedia, 2025

Edebiýatlar

  1. O'Connor, J. J. we Robertson, E. F. Arabic Numerals (Arap sanlary). Ýanwar 2001.
  2. Bill Casselman. "All for Nought" (Hemmesi boşuna). Feature Column. AMS. Fewral 2007.
  3. Bradley, Jeremy. "How Arabic Numbers Were Invented" (Arap sanlary nähili oýlanyp tapyldy). theclassroom.com.
  4. "Wissanu rejects dumping Thai numerals" (Wissanu Taý sanlaryny ýatyrmakdan ýüz öwürdi). Bangkok Post. 31 Maý 2022.
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2004). "Chinese numerals" (Hytaý sanlary). University of St Andrews.
  6. Shen Kuo we beýlekiler (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art (Matematiki sungatyň dokuz baplary). Oxford University Press.
  7. "Mathematics in the Near and Far East" (Ýakyn we Uzak Gündogarda matematika). grmath4.phpnet.us.
  8. Martzloff, Jean-Claude (2007). A History of Chinese Mathematics (Hytaý matematikasynyň taryhy).
  9. David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu–Arabic numerals (Hindi–arap sanlary).
  10. Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS (DBNS esasynda netijeli köpeltgiçi döretmek). GIAP Journals.
  11. Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neural network models of birdsong..." (Guşlaryň aýdymy boýunça neýron tor modelleri...) New Encyclopedia of Neuroscience (Täze Neýroýörelge ensiklopediýasynda).

Çeşmeler

  • Georges Ifrah. The Universal History of Numbers (Sanlaryň umumy taryhy). Wiley, 1999.
  • D. Knuth. The Art of Computer Programming (Kompýuter programmirlemegiň sungaty). Addison–Wesley, 3-nji neşir.
  • A.L. Kroeber. Handbook of the Indians of California (Kaliforniýa hindularynyň gollanmasy). Smithsonian Institution.
  • J.P. Mallory; D.Q. Adams. Encyclopedia of Indo-European Culture (Indo–Ýewropa medeniýeti ensiklopediýasy).
  • Hans J. Nissen we beýlekiler (1993). Archaic Bookkeeping (Arhaik buhgalteriýa). University of Chicago Press.
  • Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About (Ýazuw nähili emele geldi). University of Texas Press.
  • Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts (Afrika sanap çykýar). Chicago Review Press.