Системаҳои ҳисоб: мавқеӣ ва ғайримавқеӣ

Системаи ҳисоб чист?

Системаи ҳисоб — ин маҷмӯи қоидаҳои намоиш ва навишти ададҳо аст. Ҳар система дорои асос ва маҷмӯи рақамҳо мебошад. Масалан, дар системаи даҳӣ асос 10 буда, рақамҳо аз 0 то 9-ро дарбар мегиранд.

Фарқи мавқеӣ ва ғайримавқеӣ

Дар системаҳои мавқеӣ арзиши рақам аз ҷойи он вобаста аст. Масалан, дар адади 507 рақами 5 — панҷсад, 0 — сифри даҳгона, 7 — ҳафт якгона мебошад. Дар системаҳои ғайримавқеӣ бошад, арзиши рақам аз ҷой вобаста намешавад; арзиши адад аз ҷамъ ё таркиби қоидашудаи аломатҳо ҳосил мегардад.

Системаҳои ғайримавқеӣ

• Хатчаҳо (tally): |||| = 4, |||| ||| = 7. Ҳар як хатча ҳамеша 1 аст; ҷой аҳамият надорад.
• Рақамҳои римӣ: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Ададҳо асосан бо қоидаҳои ҷамъ (гоҳо тарҳ) сохта мешаванд. Масалан, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Рақамҳои Мисри қадим: адад бо такрори аломатҳои якгона, даҳгона, садгона ва ғайра навишта мешавад (ҷой муҳим нест).

Дар системаҳои ғайримавқеӣ навиштани ададҳои калон ба аломатҳои зиёд ниёз дорад ва амалҳои арифметикӣ (хусусан зарб/тақсим) душвортар мешаванд.

Системаҳои мавқеӣ

Дар системаи мавқеӣ адад ҳамчун полином (бисёрчанд) аз рӯи асос тафсир мешавад:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Шарт: 0 ≤ a_i < b

Дар ин ҷо b — асос (радикс) аст; масалан, дар даҳӣ b=10, дар дуӣ b=2, дар шонздаҳӣ b=16. Рақами 0 дар системаҳои мавқеӣ муҳимуст: он ҳамчун ҷойпуркунанда ва нишонаи набудани арзиш дар ҷой хизмат мекунад.

• Даҳӣ (b=10): стандарт дар зиндагии ҳаррӯза, молия ва ченакҳо.
• Дуӣ (b=2): пояи мантиқ ва электроникаи рақамӣ (0/1).
• Ҳаштӣ (b=8) ва шонздаҳӣ (b=16): намояндагии ихчами гурӯҳҳои бит; барои барномасозӣ қулай.
• Асосҳои 6, 5, 20, 60: дар фарҳангҳо ва таърих вомехӯранд (масалан, 60-ӣ барои вақт ва кунҷҳо).

Чаро системаҳои мавқеӣ қулайанд?

1. Ихчамнависӣ: як арзиш бо аломатҳои камтар ифода мешавад.
2. Арифметикаи алгоритмӣ: алгоритмҳои устувор барои ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим мавҷуданд.
3. Масштабпазирӣ байни асосҳо: қоидаҳои умумӣ (арзиши разрядӣ, дараҷаҳо) ҳангоми иваз шудани асос нигоҳ дошта мешаванд.

Чаро арифметика дар системаҳои ғайримавқеӣ душвортар аст?

• Сохтори ҷамъӣ: арзишҳо ҷамъ мешаванд; зарб ба ҷамъҳои такрорӣ табдил меёбад ва навишт душвор мегардад.
• Қоидаҳои тарҳкунӣ (subtractive): ҳолатҳое мисли IV, IX алгоритмҳоро содда намекунанд.
• Рақами 0 нест ё кам истифода мешавад: набудани ҷойпуркунанда умумигузорӣ ва сохторёбиро маҳдуд мекунад.

Биёед чанд мисол бубинем:

• Римӣ → даҳӣ: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• Дуӣ → даҳӣ: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Даҳӣ → шонздаҳӣ: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Даҳӣ → дуӣ (каср): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (даврӣ).

Иловагӣ: Хатоҳои маъмул

• Истифодаи рақам берун аз асос: масалан, дар дуӣ рақамҳои 2 ё 3 вуҷуд дошта наметавонанд.
• Босуръат қатъ кардани табдили касрӣ: барои идораи хатогӣ шумори қадам ва дақиқиро пешакӣ муайян намоед.
• Истифодаи зиёди тарҳ дар рақамҳои римӣ: шаклҳое мисли IL (49) стандартӣ нестанд; шакли дуруст XLIX аст.

Ҳол он ки системаҳои ғайримавқеӣ аз нигоҳи таърих ва фарҳанг ҷолибанд, дар илму техникаи муосир системаҳои мавқеӣ бартарӣ доранд. Қувваи асосии онҳо — арзиши разрядӣ, рақами 0 ва арифметикаи алгоритмӣ аст. Донистани усулҳои табдил барои барномасозӣ ва муҳандисӣ кори ҳаррӯзаро содда мегардонад.