Системаи ҳисоб

Системаи ҳисоб

Системаи ҳисоб — усули навиштани ададҳо мебошад, яъне як навъи сабти риёзист, ки маҷмӯи ададҳоро тавассути рақамҳо ё аломатҳои дигар ба шакли пайдарпай ва муназзам ифода мекунад.

Як қатор аломатҳо метавонад дар системаҳои гуногуни ҳисоб маъноҳои гуногун дошта бошад. Масалан, "11"дар системаи даҳӣ (имрӯз маъмултарин дар ҷаҳон) шумораи ёздаҳро ифода мекунад, дар системаи дуӣ (ки дар компютерҳои муосир истифода мешавад) се, ва дар системаи якӣ (дар ҳисобкунии хаттӣ) ду шуморида мешавад.

Ададе, ки навишт ифода мекунад, қимат номида мешавад. Илова бар ин, ҳамаи системаҳои ҳисоб наметавонанд як маҷмӯи ададҳоро ифода кунанд; масалан, рақамҳои румӣ, юнонӣ ва мисрӣ рамзи адади сифрро надоранд.

Системаи беҳтарин бояд чунин бошад:

• Маҷмӯи муфид аз ададҳоро ифода кунад (масалан, ҳамаи ададҳои бутун ё касрӣ)
• Ба ҳар як адад ифодаи ягона ва дақиқ диҳад (ё ҳадди ақал шакли стандартӣ)
• Сохтори алгебравӣ ва арифметикии ададҳоро инъикос намояд

Масалан, дар системаи маъмулии даҳӣ ҳар як адади натуралӣ, ки аз сифр фарқ мекунад, тавассути як қатор рақамҳо, ки аз рақами ғайрисифр оғоз мешавад, ба таври ягона ифода меёбад.

Баъзан системаҳои ҳисобро системаҳои адад низ меноманд. Аммо ин истилоҳ дақиқ нест, зеро метавонад системаҳои дигарро низ дар назар дошта бошад: мисли системаи ададҳои ҳақиқӣ, системаи ададҳои мураккаб, системаҳои гуногуни гипермураккаб, системаи ададҳои p-адик ва ғайра. Аммо ин мақола ба чунин системаҳо бахшида нашудааст.

Таърих

Ба гуфтаи олимон, системаҳои аввалини ҳисоб дар тамаддунҳои гуногун фарқ мекарданд: бобилиён аз системаи шастӣ (60-ӣ) истифода мебурданд, мисриён рақамҳои иероглифиро офариданд, ва чиниҳо рақамҳои чӯбчагиро истифода мекарданд. Майяҳо бошад, мустақилона системаи бистӣ (20-ӣ) сохта, барои адади сифр аломати махсус ворид карданд.

Риёзидонони ҳинд, аз ҷумла Брахмагупта дар асри VII, дар расмӣ гардондани қоидаҳои арифметикӣ ва мафҳуми сифр нақши муҳим бозиданд. Баъдан донишмандони олами ислом, ба монанди Ал-Хоразмӣ, ин ғояҳоро такмил доданд. Бо рушди системаҳои ҳисоб, самаранокии навишти мавқеӣ ва ворид шудани сифр ба ташаккули шакли муосири ададҳо таъсир расонд ва ба савдо, илм ва технология дар саросари ҷаҳон таъсиргузор гардид.

Аввалин системаи ҳақиқии мавқеии хаттӣ системаи ҳиндӣ–арабӣ ба шумор меравад. Ин система дар асри VII дар Ҳинд ташаккул ёфт^[1], аммо ҳанӯз ба шакли имрӯза нарасида буд, зеро истифодаи рақами сифр ҳанӯз қабул нашуда буд. Ба ҷои сифр баъзан нуқта гузошта мешуд ё ҷойи холӣ мемонд. Аввалин истифодаи умумии сифр ба соли 876 рост меояд^[2]. Рақамҳои аслӣ ба рақамҳои имрӯза хеле монанд буданд, ҳатто то шаклҳои ифодаи онҳо^[1].

То асри XIII рақамҳои арабии ғарбӣ дар муҳитҳои риёзии Аврупо қабул ёфтанд.Фибоначчи онҳоро дар асари худ Liber Abaci истифода бурд. Бо вуҷуди муқовимати ибтидоӣ, рақамҳои ҳиндӣ–арабӣ ба туфайли осонии ҳисоб, махсусан дар соҳаи бонкдорӣ ва тиҷорат, дар Аврупо маъмул гаштанд.

Ихтирои чопгарии китоб дар асри XV истифодаи онҳоро стандартӣ гардонд, зеро матнҳои чопии риёзӣ аз рақамҳои румӣ ба ин система афзалият доданд. То охири асри XV онҳо ба истифодаи умум дохил шуданд^[3]. То охири асри XX қариб тамоми ҳисобҳои ғайрикомпютерӣ дар ҷаҳон бо рақамҳои арабӣ анҷом мешуд ва системаҳои маҳаллӣ қариб комилан аз байн рафтанд.

Дар асри XVII ин система дар асарҳои илмӣ нуфуз пайдо кард ва ба кашфиётҳоиИсаак Нютон ва Рене Декарт таъсир расонд. Дар асрҳои XIX–XX паҳншавии рақамҳои арабӣ рушди молия, муҳандисӣ ва технологияро осон кард ва пояи ҳисоббарорӣ ва намоиши рақамии иттилоотро гузошт.

Низомҳои дигари таърихии ҳисоб бо истифодаи рақамҳо

Синни дақиқи рақамҳои майя маълум нест, вале мумкин аст онҳо аз системаи ҳиндӣ–арабӣ кӯҳантар бошанд. Ин система висизималӣ (20-ӣ) буда, аз бист рақам иборат буд. Майяҳо барои нишон додани сифр аз рамзи садаф истифода мекарданд. Рақамҳо амудӣ навишта мешуданд, ҷойи якҳо дар поён буд. Азбаски майяҳо ҷудосози даҳии муосир надоштанд, системаи онҳо наметавонист касрҳоро ифода кунад.

Системаи рақамҳои тай бо системаи ҳиндӣ–арабӣ яксон аст, фарқият танҳо дар рамзҳои истифодашуда мебошад. Имрӯз ин рақамҳо дар Таиланд назар ба гузашта камтар истифода мешаванд, вале ҳамоно дар баробари рақамҳои арабӣ корбурд доранд.^[4]

Рақамҳои чӯбчагӣ — шакли хаттии чӯбчаҳои ҳисоб, ки як замон аз тарафи риёзидонони чинӣ ва японӣ истифода мешуданд, системаи мавқеии даҳӣ барои анҷоми ҳисобҳои даҳӣ буд. Чӯбчаҳо дар тахтаи ҳисоб ҷойгир шуда, ба пеш ё ақиб ҳаракат мекарданд, то разряди даҳӣ тағйир ёбад.

Асари риёзии Sūnzĭ Suànjīng, ки ба асрҳои III–V милодӣ мансуб аст, дастурҳои муфассалро дар бораи ин система медиҳад. Гумон меравад, ки он ҳадди аққал аз асри IV то милод истифода мешуд.^[5] Аввал сифр рақам ҳисоб намешуд, балки мавқеи холӣ ба шумор мерафт.^[6] Баъдтар манбаъҳо қоидаҳои ифодаи сифр ва ададҳои манфиро ҷорӣ карданд.

Аввалин истифодаи рамзи гирд 〇 барои сифр дар Рисолаи риёзии нуҳ қисмӣ соли 1247 сабт шудааст.^[7] Пайдоиши ин рамз маълум нест; эҳтимол аз тағйири рамзи мураббаъ ба вуҷуд омада бошад^[8]. Рақамҳои Сучжоу, ки аз рақамҳои чӯбчагӣ баромадаанд, то имрӯз барои баъзе мақсадҳои тиҷоратӣ истифода мешаванд.

Системаҳои асосии ҳисоб

Системаҳои ҳисоби бештар истифодашаванда — даҳӣ (decimal) мебошад. Таҳияи версияи бутуни онро ба риёзидонони ҳинд нисбат медиҳанд, ки системаҳои рақамҳои ҳиндӣ–арабӣ-ро ба вуҷуд оварданд.^[8] Дар асри V Арьябхата аз Кусумапура тарзи навишти арзиши разрядро пешниҳод кард, ва пас аз як аср Брахмагупта рамзи сифрро ҷорӣ намуд. Ин система тадриҷан тавассути робитаҳои тиҷоратӣ ва низомӣ ба Арабистон паҳн гардид. Риёзидонони Шарқи Наздик системаро васеъ намуда, дараҷаҳои манфии 10 (касрҳо)-ро низ дохил карданд. Инро риёзидони сурӣ Абу-л-Ҳасан ал-Уқлидисӣ дар солҳои 952–953 қайд кардааст.Синд ибн Алӣ рамзи нуқтаи даҳиро ҷорӣ намуда, аввалин рисола оид ба рақамҳои арабиро навишт. Баъдтар ин система тавассути тоҷирон ба Аврупо паҳн гардид ва рақамҳо ба номи «арабӣ» машҳур шуданд.

Соддатарин система — якӣ (unary) мебошад, ки дар он ҳар адади натуралӣ бо шумораи мувофиқи рамзҳо ифода карда мешавад. Агар рамз / бошад, пас адади 7 /////// навишта мешавад. Аломатҳои ҳисоб (tally marks) намунаи чунин системаанд, ки то имрӯз боқӣ мондааст. Системаҳои якӣ танҳо барои ададҳои хурд қулайанд, аммо барои информатикаи назариявӣ аҳамияти калон доранд. Масалан, рамзгузории Элиас гамма дар фишурдани додаҳо истифода мешавад.

Сабти якӣ метавонад бо ворид намудани рамзҳои иловагӣ барои арзишҳои нав кӯтоҳ шавад. Ин арзишҳо одатан дараҷаҳои 10 мебошанд. Масалан, агар / — 1, − — 10, + — 100 бошад, пас 304 ҳамчун +++ //// ва 123 ҳамчун + − − /// навишта мешавад. Ин усул сабти ишора–арзиш номида мешавад. Системаҳои рақамии Мисри қадим аз ҳамин навъ буданд, рақамҳои Римӣ бошад шакли тағйирёфтаи он мебошанд.

Боз ҳам қулайтар — системаҳои бо кӯмакҳои махсус такрори рамзҳоро кӯтоҳ мекунанд. Масалан, агар ҳарфҳои аввалини алифбо истифода шаванд (A — як бор, B — ду бор), пас 304 метавонад ҳамчун C+ D/ навишта шавад. Ин гуна системаҳо дар рақамҳои чинӣ ва шарқи осиёӣ истифода мешаванд. Забони англисӣ низ аз ҳамин навъ аст («three hundred four»). Аммо бисёр забонҳо омехтаи асосҳоро истифода мебаранд: масалан, фаронсавӣ 79 — soixante dix-neuf (60 + 10 + 9).

Мукаммалтаринашон системаҳои мавқеӣ мебошанд. Онҳо аз рӯи асос (радикс) гурӯҳбандӣ мешаванд. Дар системаи даҳӣ рақамҳои 0–9 истифода мешаванд ва ҷойи рақам муайян мекунад, ки бо кадом дараҷаи 10 зарб шавад: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, яъне 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Сифр дар ин ҷо нақши калидӣ мебозад, зеро «гузариши разряд»-ро имкон медиҳад.

Амалҳои арифметикӣ дар системаҳои мавқеӣ хеле осонтаранд, нисбат ба системаҳои иловагӣ, ки барои ҳар дараҷаи 10 рамзҳои гуногун талаб мекунанд. Дар системаҳои мавқеии даҳӣ бошад, ҳамагӣ 10 рамз кифоя аст.^[10]

Имрӯз системаи мавқеии даҳӣ қариб ки универсалӣ мебошад. Ҳамчунин асоси 1000 низ истифода мешавад: масалан, 1,000,234,567.

Дар компютерҳо асосӣ система — дуӣ (бинарӣ, асоси 2) мебошад. Дар он танҳо рақамҳои 0 ва 1 истифода мешаванд. Гурӯҳбандии рақамҳои дуӣ ба 3 додан системаи ҳаштӣ, ба 4 додан системаи шонздаҳӣ медиҳад. Барои ададҳои хеле калон асосҳои 2³² ё 2⁶⁴ истифода мешаванд.

Дар баъзе системаҳои биологӣ низ системаҳои якӣ истифода мешаванд. Масалан, дар шабакаҳои асабии масъул барои суруди паррандагон. Маркази HVC дар майнаи паррандагон ҳам дар омӯзиш ва ҳам дар иҷро нақш мебозад.

Рақамҳо ба ду гурӯҳ ҷудо мешаванд: арифметикӣ (0–9) ва геометрӣ (1, 10, 100...). Системаҳои ишора–арзиш танҳо рақамҳои геометриро истифода мебаранд, системаҳои мавқеӣ танҳо рақамҳои арифметикиро. Аммо дар нутқи гуфтугӯӣ ҳардуяшон истифода мешаванд.

Дар информатика баъзан системаи махсуси бо асоси k тағйирёфта истифода мешавад, ки онро системаҳои биективӣ меноманд. Дар он рақамҳо 1, 2, …, k мебошанд, сифр бошад бо сатри холӣ ифода мешавад. Системаи биективии асоси 1 ба системаи якӣ баробар аст.

Системаҳои мавқеӣ ба таври муфассал

Дар системаи мавқеӣ бо асоси b (b — адади натуралӣ аз 1 калонтар, ки асос ё радикс ном дорад),b рамзи асосӣ (рақам) истифода мешавад, ки ба аввалин ададҳои натуралӣ аз 0 то b – 1 мувофиқ аст. Арзиши рақам аз ҷойгиршавиаш вобаста аст: рақами охирон арзиши худро дорад, ба тарафи чап ҳаракат карда, бо b зарб мешавад.

Масалан, дар системаи даҳӣ (асос 10) адади 4327 чунин маъно дорад: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), ки дар он 10⁰ = 1.

Умуман, адад дар асоси b чунин навишта мешавад:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰, ва рақамҳо aₙ aₙ₋₁ ... a₀ пай дар пай оварда мешаванд. Рақамҳо ададҳои натуралӣ аз 0 то b – 1 мебошанд.

Барои пешгирӣ аз нофаҳмӣ ҳангоми истифодаи асосҳои гуногун, асос бо индекси поён навишта мешавад:ададасос. Агар нишон дода нашуда бошад, адад даҳӣ ҳисобида мешавад.

Бо истифодаи нуқта рақамҳоро ду қисм мекунанд ва ҳиссаҳо низ сабт мешаванд. Масалан, дар асоси 2 адади 10.11 чунин аст: 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75.

Умуман, адад дар асоси b чунин шакл дорад:

Арзишҳои bᵏ ва b⁻ᵏ вазнҳои рақамҳоро ифода мекунанд. Ҷойи k логарифм-и вазн мебошад. Ҷойи баландтар ба тартиби адад мувофиқ аст.

Дар системаи унарӣ барои вазн w аломат лозим мешуд. Дар системаи мавқеӣ бошад, танҳо logbw + 1 рақам кофист. Масалан, барои 1000 чор рақам лозим аст, зеро log₁₀1000 + 1 = 4.

Агар адад рационалӣ бошад, навишти он ё хотимавӣ, ё даврӣ аст. Дар як асос хотимавӣ буда метавонад, дар дигараш — даврӣ (масалан, 0.3₁₀ = 0.010011...₂). Адади иррационалӣ дар ҳама асосҳо беохир ва бедавр аст (масалан, π).

Барои нишон додани рақамҳои такроршаванда, аз хати боло ё нуқта истифода мекунанд. Масалан: 14/11 = 1.2727... = 1.27.

Агар b = p адади содда бошад, метавон системаҳои p-адикӣ-ро таъриф кард, ки дар онҳо навишт ба тарафи чап беохир идома меёбад.

Ҳамчунин вариантҳои асоси b мавҷуданд, ки рақамҳо метавонанд мусбат ё манфӣ бошанд; ин намоиши рақамҳои ишоратдор номида мешавад.

Адади бутуни дарозии тағйирёбанда (умумӣ)

Усуле, ки умумитар аст — истифодаи навишти асоси омехта мебошад (дар шакли little-endian), масалан: a₀a₁a₂ баробар ба a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂ ва ғайра.

Ин усул дар Punycode истифода мешавад, ки яке аз хусусиятҳояш ин аст: пайдарпаии ададҳои бутуни ғайриманфии ҳархиландоза дар шакли сатри бебалғам (бе ҷудокунанда) ифода карда мешавад. Дар ин ҷо «рақамҳо» маҷмӯи 36 рамз мебошанд: a–z ва 0–9, ки мувофиқан қимматҳои 0–25 ва 26–35-ро ифода мекунанд.

Ҳамчунин қимматҳои ҳаддӣ t₀, t₁, ... мавҷуданд, ки барои ҳар як мавқеи рақам муайян шудаанд. Агар рақами aᵢ аз ҳадди худ tᵢ хурдтар бошад, он рақами муҳимтарин шуморида мешавад. Ин ҳолат охири ададро нишон медиҳад ва рамзи баъдӣ (агар бошад) оғози рақами нав мешавад.

Масалан, агар барои рақами аввал қиммати ҳаддӣ b = 1 бошад, пас a = 0 анҷоми ададро ифода мекунад (яъне, танҳо як рақам). Пас, дар ададҳои серрақам, рақами аввал танҳо дар диапазони b–9 (1–35) қарор мегирад. Дар ин ҳол вазн b₁ = 35 мешавад. Умуман, агар tₙ ҳадди n-ум бошад, он гоҳ:
bₙ₊₁ = 36 − tₙ

Агар барои рақами дуюм ва сеюм ҳадд c = 2 бошад, пас диапазони рақами дуюм a–b (0–1) аст, агар он рақами муҳимтарин бошад, ва c–9 (2–35), агар рақами сеюм бошад. Дар умум, вазни рақами (n + 1)-ум баробари вазни қаблӣ зарб ба 36 − tₙ аст.

Масалан:
Вазни рамзи дуюм = 36 − t₀ = 35
Вазни рамзи сеюм = 35 × (36 − t₁) = 35 × 34 = 1190

Пас, пайдарпаии ададҳои то 3-рақамӣ чунин мешавад:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 9a (35), bb (36), cb (37), ..., 9b (70), bca (71), ..., 99a (1260), bcb (1261), ..., 99b (2450)

Баръакси системаи маъмулии n-асос, дар ин ҷо ададҳое чун 9b мавҷуданд, ки ҳарду рамз (9 ва b) як арзиши якхела доранд — 35. Аммо навишт ягона мемонад, зеро ac ё aca иҷозат дода намешаванд — рамзи аввал a анҷоми ададро нишон медиҳад.

Имконияти интихоб кардани қимматҳои ҳаддӣ ба оптимизатсияи шумораи рақамҳо вобаста ба басомади ададҳои андозаи гуногун имкон медиҳад.

Агар ҳамаи қимматҳои ҳаддӣ баробар ба 1 бошанд, ин ҳолат ба системаи ҳисоби биективӣ мувофиқат мекунад, ки дар он сифрҳо нақши ҷудокунанда доранд.