Say sistemi

Say sistemi

Say sistemi — ədədləri yazılı formada ifadə etmə üsulu, yəni müəyyən bir ədədlər çoxluğunu rəqəmlər və ya simvollar vasitəsilə ardıcıl və nizamlı şəkildə göstərən riyazi yazı sistemidir.

Eyni simvollar ardıcıllığı müxtəlif say sistemlərində müxtəlif mənalar daşıya bilər. Məsələn, "11" onluq say sistemində (bu gün dünyada ən geniş yayılmışı) on biri bildirir, ikilik say sistemində (müasir kompüterlərdə istifadə olunur) üçü göstərir, birli say sistemində isə (say-çubuq üsulunda) ikiyə uyğundur.

Simvolun ifadə etdiyi ədədə onun qiyməti deyilir. Bütün say sistemləri eyni ədədlər çoxluğunu göstərə bilmir; məsələn, Roma, Yunan və Misir rəqəmlərində sıfır üçün xüsusi işarə yoxdur.

İdeal bir say sistemi aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olmalıdır:

• Faydalı ədədlər çoxluğunu ifadə etmək (məsələn, bütün tam ədədlər və ya rasional ədədlər)
• Hər ədəd üçün unikal və aydın ifadə vermək (və ya heç olmasa standart yazılış)
• Ədədlərin cəbr və arifmetika quruluşunu əks etdirmək

Məsələn, adi onluq say sistemində sıfırdan fərqli hər bir natural ədəd, əvvəli sıfır olmayan rəqəmlə başlayan sonlu rəqəmlər ardıcıllığı şəklində unikal olaraq ifadə olunur.

Bəzən say sistemlərinə ədəd sistemləri də deyilir. Amma bu ad dəqiq deyil, çünki o, başqa riyazi sistemləri də nəzərdə tuta bilər: məsələn, həqiqi ədədlər sistemi, kompleks ədədlər sistemi, müxtəlif hiperkompleks sistemlər, p-adik ədədlər sistemi və s. Lakin bu məqalə belə sistemlər haqqında deyil.

Tarix

Alimlərin fikrincə, ilk say sistemləri sivilizasiyalara görə müxtəlif olmuşdur: Babililər 60-lıq sistemi istifadə etmiş, misirlilər heroqlif rəqəmlərini yaratmış, çinlilər çubuq rəqəmlərindən istifadə etmişdir. Mayalar isə müstəqil olaraq iyirmilik (vigesimal) sistemi yaratmış və sıfır üçün xüsusi bir işarə daxil etmişlər.

Hindistanlı riyaziyyatçılar, məsələn, VII əsrdə yaşamış Brahmagupta, arifmetik qaydaları sistemləşdirməkdə və sıfır anlayışını formalaşdırmaqda mühüm rol oynamışdır. Daha sonra İslam aləmindəki alimlər, xüsusən Əl-Xarəzmi, bu ideyaları inkişaf etdirmişdir. Say sistemləri inkişaf etdikcə, mövqe yazısının səmərəliliyi və sıfırın əlavə olunması müasir ədədlərin göstərilməsinə təsir etmiş, dünya ticarəti, elm və texnologiyaya böyük təsir göstərmişdir.

İlk həqiqi yazılı mövqeli say sistemi Hind–ərəb say sistemi hesab edilir. Bu sistem VII əsrdə Hindistanda formalaşmışdır^[1], lakin hələ müasir formasında deyildi, çünki sıfır rəqəminin istifadəsi geniş yayılmamışdı. Sıfır əvəzinə bəzən nöqtə qoyulurdu, yaxud boş yer saxlanırdı. Sıfırın ilk geniş qəbul edilmiş istifadəsi876-cı ildə qeydə alınmışdır^[2]. Əsl rəqəmlər indiki rəqəmlərə çox oxşayırdı, hətta istifadə olunan işarələr də demək olar ki, eyni idi^[1].

XIII əsrə qədər qərbi ərəb rəqəmləri Avropa riyaziyyat dairələrində qəbul edilməyə başlamışdı. Məsələn, Fibonacci onları özününLiber Abaci əsərində istifadə etmişdir. Əvvəlcə müqavimətlə qarşılaşsa da, Hind–ərəb rəqəmləri hesablamadakı rahatlığı səbəbindən, xüsusilə bank və ticarətdə, Avropada geniş yayılmışdır.

XV əsrdə çap dəzgahının ixtirası bu rəqəmlərin istifadəsini standartlaşdırdı, çünki çap olunmuş riyazi mətnlər Roma rəqəmləri əvəzinə bu sistemi seçdi. XV əsrin sonlarına doğru gündəlik istifadəyə daxil oldu^[3]. XX əsrin sonuna qədər isə dünyada kompütersiz bütün hesablamalar ərəb rəqəmləri ilə aparılmağa başlandı və yerli say sistemləri demək olar ki, sıradan çıxdı.

XVII əsrdə bu sistem elmi əsərlərdə üstünlük təşkil edərək,İsaak Nyuton və Rene Dekart kimi alimlərin riyazi nailiyyətlərinə təsir göstərmişdir. XIX–XX əsrlərdə ərəb rəqəmlərinin geniş yayılması qlobal maliyyə, mühəndislik və texnologiyanın inkişafını təmin etmiş, müasir kompüter və rəqəmsal məlumatların göstərilməsinin əsasını qoymuşdur.

Rəqəmlərdən istifadə edən digər tarixi say sistemləri

Maya rəqəmlərinin dəqiq yaşı məlum deyil, lakin onların Hind–Ərəb sistemindən daha qədim olması mümkündür. Sistem vigesimal (iyirmilik) idi və iyirmi rəqəmdən ibarət idi. Mayalar sıfırı göstərmək üçün ilbiz qabığı simvolundan istifadə edirdilər. Rəqəmlər şaquli yazılır, təkliklər yuxarıdan aşağıya ən altda yerləşirdi. Mayaların müasir onluq vergülə bənzər işarəsi olmadığından, sistem kəsrləri ifadə edə bilmirdi.

Tay rəqəmləri sistemi, Hind–Ərəb sisteminə bənzəyir, yalnız istifadə olunan simvollar fərqlidir. Bu rəqəmlərin istifadəsi Taylandda əvvəlki qədər geniş deyil, lakin indi də ərəb rəqəmləri ilə yanaşı işlədilir.^[4]

Çubuq rəqəmləri, Çin və Yaponiya riyaziyyatçıları tərəfindən istifadə edilən yazılı formalar idi. Bu, onluq mövqeli sistem idi və onluq hesablamalarda istifadə olunurdu. Çubuqlar hesablama lövhəsinə qoyulur, irəli və ya geri sürüşdürülərək onluq mərtəbə dəyişdirilirdi.

Eramızın III–V əsrlərinə aid Sūnzĭ Suànjīng adlı riyazi əsər bu sistem barədə ətraflı göstərişlər təqdim edir. Onun eramızdan əvvəl IV əsrdən istifadə edildiyi güman edilir.^[5] Əvvəlcə sıfır bir rəqəm yox, boş mövqe kimi qəbul olunmuşdu.^[6] Sonrakı mənbələrdə sıfır və mənfi rəqəmləri ifadə etmək üçün qaydalar tətbiq olunmuşdur.

Sıfır üçün dairəvi işarənin 〇ilk istifadəsi 1247-ci ildə yazılmış Doqquz bölmədən ibarət riyazi risalədə təsdiqlənmişdir.^[7] Bu işarənin mənşəyi məlum deyil; bəlkə də kvadrat işarənin dəyişdirilməsi nəticəsində yaranmışdır^[8]. Suzhou rəqəmləri isə çubuq rəqəmlərindən törəmişdir və bu gün də bəzi ticarət məqsədləri üçün istifadə olunur.

Əsas say sistemləri

Ən çox istifadə olunan say sistemi onluq (decimal) sistemdir. Onun tam ədəd versiyasının inkişafında hind riyaziyyatçıları, xüsusilə hind–ərəb rəqəmləri sistemi mühüm rol oynamışdır.^[8] V əsrdə Kusumapuradan Aryabhatamövqe–qiymət yazısını işləyib hazırladı, bir əsr sonra isə Brahmagupta sıfır simvolunu təqdim etdi. Sistem tədricən Hindistanla ticarət və hərbi əlaqələr vasitəsilə Ərəbistana yayıldı. Yaxın Şərq riyaziyyatçıları sistemi genişləndirərək 10-un mənfi qüvvətlərini (kəsrləri) əlavə etdilər. Bu, 952–953-cü illərdə suriyalı riyaziyyatçı Əbu’l-Həsən əl-Uqlidisinin traktatında qeyd olunmuşdur.Sind ibn Əli isə onluq nöqtə yazısını təqdim etmiş və ərəb rəqəmləri haqqında ilk traktatı yazmışdır. Daha sonra hind–ərəb rəqəmləri tacirlər vasitəsilə Avropaya yayılmış və Avropada “ərəb rəqəmləri” adlandırılmışdır.

Ən sadə sistem — birli (unary) sistemdir. Burada hər bir natural ədəd müvafiq sayda simvolla göstərilir. Məsələn, simvol kimi / seçilərsə, yeddi rəqəmi /////// şəklində yazılır. Çubuq işarələri (tally marks) bu sistemin bu günə qədər işlənən formasıdır. Birli sistem yalnız kiçik ədədlər üçün yararlıdır, lakin nəzəri informatika üçün çox vacibdir. Məsələn, məlumat sıxılmasında istifadə edilən Elias gamma kodlaşdırması unary sistemdən yararlanır.

Birli yazı yeni qiymətlər üçün simvollar əlavə edilməklə qısaldıla bilər. Çox vaxt bu qiymətlər 10-un qüvvətləri olur. Məsələn, / — 1, − — 10, + — 100 götürülərsə, 304 ədədi +++ ////, 123 ədədi isə + − − /// şəklində yazılar. Bu üsul işarə–qiymət yazısı adlanır. Qədim Misir say sistemi bu tipdə olmuş, Roma rəqəmləri isə onun dəyişdirilmiş formasıdır.

Daha əlverişli olanı — simvolların təkrarını xüsusi qısaltmalarla ifadə edən sistemlərdir. Məsələn, əlifbanın ilk doqquz hərfini götürsək, A — “bir dəfə”, B — “iki dəfə” mənasını versə, 304 ədədi C+ D/ kimi yazıla bilər. Belə sistem Çin rəqəmlərində və Şərqi Asiya ölkələrinin rəqəmlərində istifadə olunur. İngilis dilindəki say sistemi də bu tipdir (“three hundred four”). Bir çox dillərdə isə qarışıq əsaslardan istifadə edilir: məsələn, fransızcada 79 — soixante dix-neuf (60 + 10 + 9).

Ən mükəmməl sistem mövqe–qiymət (mövqeli) sistemdir. Bu sistemlər əsaslarına görə təsnif olunur. Onluq sistemdə 0–9 arası on rəqəm var və rəqəmin mövqeyi onun hansı 10 qüvvəti ilə vurulacağını göstərir: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, yəni 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Burada sıfır vacib rol oynayır, çünki o, mövqeləri “ötməyə” imkan verir.

Aritmetik əməliyyatlar mövqe–qiymət sistemində daha asandır. Toplama sistemlərində hər bir qüvvət üçün ayrıca simvol lazım olsa da, mövqeli sistemdə (onluq əsasta) cəmi on simvol kifayətdir.^[10]

Hazırda yazıda universal olaraq onluq mövqe–qiymət sistemi istifadə olunur. Həmçinin bəzi hallarda 1000 əsası da tətbiq edilir: məsələn, 1,000,234,567.

Kompüterlərdə əsas sistem 2 əsasa malik mövqe–qiymət sistemidir (ikilik). Burada yalnız iki rəqəm — 0 və 1 istifadə olunur. İkilik sistem üçlü qruplara bölünəndə 8 əsası (səkkizlik), dördlü qruplara bölünəndə 16 əsası (onaltılıq) alınır. Çox böyük tam ədədlər üçün isə 2³² və ya 2⁶⁴ əsası tətbiq olunur.

Bəzi bioloji sistemlərdə də birli sistem istifadə olunur. Məsələn, quşların oxumasını idarə edən neyron dövrələrində unary kodlaşdırma işlədilir. Quş beynindəki HVC mərkəzi həm öyrənmədə, həm də oxumada iştirak edir.

Rəqəmlər iki növə bölünür: arifmetik (0–9) və həndəsi (1, 10, 100...). İşarə–qiymət sistemləri həndəsi rəqəmlərdən, mövqe–qiymət sistemləri isə arifmetik rəqəmlərdən istifadə edir. Lakin danışıq dilində hər ikisi də işlədilir.

İnformatikada bəzən bijektiv say sistemi adlanan dəyişdirilmiş k-əsaslı sistem tətbiq olunur. Burada rəqəmlər 1, 2, …, k formasında olur və sıfır boş sətrlə göstərilir. Bu üsul bütün ədədlər ilə rəqəm sətirləri arasında bir-birinə uyğunluq yaradır. Bijektiv 1-əsaslı sistem birli sisteminə bərabərdir.

Mövqeli sistemlərin təfərrüatları

Bir mövqeli b əsaslı say sistemi (b — 1-dən böyük natural ədəd, sistemin əsası və ya radiksi) sıfır daxil olmaqla ilk b natural ədədə uyğun b əsas simvoldan (rəqəmdən) istifadə edir. Qalan ədədlər isə simvolların mövqeyinə görə yaradılır: ən sağdakı rəqəm öz qiymətinə bərabərdir, sola keçdikcə qiyməti b-ə vurulur.

Məsələn, onluq sistemdə (əsas 10) 4327 ədədi belə yazılır: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), burada 10⁰ = 1.

Ümumilikdə, əsas b olduqda ədəd belə yazılır:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + aₙ₋₂bⁿ⁻² + ... + a₀b⁰və rəqəmlər aₙ aₙ₋₁ ... a₀ardıcıllıqla yazılır. Burada rəqəmlər 0 ilə b – 1 arasında dəyişir.

Əgər bir neçə əsas müzakirə olunursa, qarışıqlığı aradan qaldırmaq üçün ədədin yanında aşağı indeksdə əsas yazılır:ədədəsas. Kontekstdə qeyd olunmayıbsa, indeksiz ədədlər onluq hesab olunur.

Nöqtə vasitəsilə rəqəmlər iki qrupa ayrılaraq kəsrlər də yazıla bilər. Məsələn, 2 əsasında 10.11 belədir: 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75.

Ümumilikdə, b əsaslı sistemdə ədədlər bu formada olur:

Burada bᵏ və b⁻ᵏ müvafiq rəqəmlərin çəkilərini göstərir.k mövqeyi isə həmin çəkilərin loqarifmidir:. Ən yüksək mövqe ədədin böyüklük dərəcəsinə yaxındır.

Birli sistemində (unary) çəkini göstərmək üçün w işarə lazım olardı. Mövqeli sistemdə isə cəmirəqəm kifayətdir (k ≥ 0 üçün). Məsələn, 1000 çəkisini göstərmək üçün 4 rəqəm lazımdır, çünkilog10 1000 + 1 = 3 + 1.

Əgər ədəd rasionaldırsa, onun yazılışı ya sonlu, ya da dövridir. Bir əsasda sonlanan ədəd başqa əsasda dövr edə bilər (məsələn, 0.3₁₀ = 0.010011...₂). İrrasional ədədlər isə bütün əsaslarda sonsuz və təkrarsız yazılır. Məsələn, 2 əsasında π = 3.1415926...₁₀ belədir: 11.001001000011111...₂.

Dövri kəsrlərdə təkrarlanan rəqəmlərin üstünə xətt (n) və ya nöqtə (ṅ) qoymaq qəbul olunmuşdur. Məsələn:
14/11 = 1.272727... = 1.27321.321787878... = 321.32178

Əgər b = p sadə ədəd olarsa, sola doğru sonsuz genişlənən p-əsaslı ədədlər müəyyən edilə bilər; bunlara p-adik ədədlər deyilir.

Həm müsbət, həm də mənfi rəqəmlərin istifadə olunduğu b əsaslı variant da mövcuddur; buna işarəli-rəqəmli ifadə deyilir.