Mövqeli və mövqesiz say sistemləri

Say sistemi nədir?

Say sistemi — ədədləri işarələmə və yazma qaydaları toplusudur. Hər bir sistemin əsası və rəqəmlər toplusu olur. Məsələn, onluq sistemdə əsas 10-dur və rəqəmlər toplusu 0–9-dan ibarətdir.

Mövqeli və mövqesiz fərqi

Mövqeli sistemlərdə rəqəmin qiyməti onun mövqeyindən asılıdır. Məsələn, 507 ədədində 5 — yüzlük, 0 — onluq, 7 — təklik deməkdir. Mövqesiz sistemlərdə isə rəqəm harada dayanmasından asılı olmayaraq qiymətini dəyişmir; ədədin qiyməti rəqəmlərin cəmi və ya qaydalı kombinasiyaları ilə hesablanır.

Mövqesiz sistemlər

• Ştrix (tally) yazısı: |||| = 4, |||| ||| = 7. Hər ştrix həmişə 1-ə bərabərdir; mövqe əhəmiyyətsizdir.
• Roma (rum) rəqəmləri: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Ədədlər əsasən toplama (bəzən çıxma) qaydaları ilə qurulur. Məsələn, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Qədim Misir rəqəmləri: təklik, onluq, yüzlük işarələrinin təkrari cəmi ilə ədəd yazılır (mövqe əhəmiyyətli deyil).

Mövqesiz sistemlərdə böyük ədədlərin yazılması çox işarə tələb edir və arifmetik əməliyyatlar (xüsusilə vurma/bölmə) çətinləşir.

Mövqeli sistemlər

Mövqeli sistemdə ədəd aşağıdakı çoxhədli formasında şərh olunur:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Şərt: 0 ≤ a_i < b

Burada b — sistemin əsasıdır; məsələn, onluqda b=10, ikilikdə b=2, onaltılıqda b=16. 0 rəqəmi mövqeli sistemlərdə vacibdir: yer tutucu və “yox qiyməti” ifadə edən rəqəm kimi işlədilir.

• Onluq (b=10): gündəlik həyat, maliyyə, ölçmələrdə standart.
• İkilik (b=2): kompüter məntiqi (0/1) və rəqəmsal elektronikanın əsası.
• Səkkizlik (b=8) və onaltılıq (b=16): bit qruplarını yığcam göstərmək, proqramlaşdırmada əlverişlidir.
• Altılıq (b=6), beşlik (b=5), iyirmilik (b=20), altmışlıq (b=60): müxtəlif mədəniyyət və tarixi təcrübələrdə rast gəlinir (məsələn, vaxt və bucaq ölçmələrində 60-lıq).

Niyə mövqeli sistemlər əlverişlidir?

1. Yığcam yazı: Eyni qiyməti daha az işarə ilə ifadə etmək mümkündür.
2. Alqoritmik arifmetika: toplama, çıxma, vurma, bölmə üçün sabit, təkrarlana bilən alqoritmlər var.
3. Miqyaslanma: Əsas dəyişsə belə ümumi qaydalar (mövqe qiyməti, dərəcələr) qorunur.

Mövqesiz sistemlərdə arifmetika niyə çətindir?

• Cəm əsasında quruluş: Rəqəmlər sadəcə cəmlənir; vurma — təkrari toplama olduğundan yazılar mürəkkəbləşir.
• Çıxma qaydaları: Roma rəqəmlərində IV, IX kimi hallar alqoritmləri sadələşdirmir.
• 0 rəqəmi yoxdur və ya az işlədilir: Yer tutucu boş mövqe olmadığından sistemi ümumiləşdirmək çətinləşir.

Gəlin, bir neçə nümunəyə baxaq:

• Roma → onluq: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• İkilik → onluq: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Onluq → onaltılıq: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Onluq → ikilik (kəsr): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (dövri).

Bonus: Tez-tez rast gəlinən səhvlər

• Əsasdan böyük rəqəmdən istifadə: məsələn, ikilikdə 2 və ya 3 ola bilməz.
• Kəsr çevirməsini tez dayandırmaq: xəta nəzarəti üçün addım sayı və dəqiqlik əvvəlcədən müəyyənləşdirilməlidir.
• Roma rəqəmlərində çıxmanın sui-istifadəsi: IL (49) kimi yazılış standartlara görə düzgün deyil, əslində XLIX doğrudur.

Mövqesiz sistemlər tarixi və mədəni baxımdan maraqlı olsa da, müasir elm və texnikada mövqeli sistemlər praktik baxımdan üstündür. Onların əsas gücü — mövqe qiyməti, 0 rəqəmi və alqoritmik arifmetikadır. Çevirmə üsullarını bilmək isə proqramlaşdırma və mühəndislikdə gündəlik işi xeyli sadələşdirir.