ساناق سىستېمىسى

ساناق سىستېمىسى — سانلارنى يازما شەكىلدە ئىپادىلەش ئۇسۇلى، يەنى بەلگىلەنگەن سانلار توپلىمىنى رەقەملەر ياكى باشقا بەلگىلەر ئارقىلىق تۈزۈك ۋە مۇنتىزام ھالدا كۆرسىتىدىغان ماتېماتىكىلىق يازما سىستېما.

ئوخشاش بەلگىلەر تىزىقى پەرقلىق ساناق سىستېمىلىرىدا پەرقلىق مەنىلەرگە ئىگە بولۇشى مۇمكىن. مەسىلەن، "11"ئونلۇق ساناق سىستېمىسىدا (بۈگۈن دۇنيادا ئەڭ كۆپ ئىشلىتىلىدىغىنى) 11 نى بىلدۈرىدۇ، ئىككىلىك سىستېمىدا (زامانىۋى كومپيۇتېرلاردا ئىشلىتىلىدۇ) 3 نى كۆرسىتىدۇ، بىرلىك سىستېمىسىدا (ساناش-تاياق ئۇسۇلىدا) 2 نى بىلدۈرىدۇ.

بەلگىنىڭ بىلدۈرگەن سانى ئۇنىڭ قىممەتى دەپ ئاتىلىدۇ. ھەممە ساناق سىستېمىلىرى بىر خىل سانلار توپلىمىنى كۆرسىتەلەيدۇ، دېيەلەيدۇ؛ مەسىلەن، رىم، يۇنان ۋە مىسىر رەقەملەر سىستېمىسىدا نۆل ئۈچۈن بەلگە يوق.

مۇكەممەل ساناق سىستېمىسى تۆۋەندىكى خاسلىقلارغا ئىگە بولۇشى كېرەك:

پايدىلىق سانلار توپلىمىنى ئىپادىلەش (مەسىلەن، پۈتۈن ياكى رەسىيونال سانلار)
ھەر بىر سانغا بىردىنبىر، ئېنىق ئىپادە بېرىش (ياكى بولمىسا ستاندارت شەكىل)
سانلارنىڭ الجىبرىي ۋە ئارىفمېتىك قۇرۇلمىسىنى ئەكس ئېتىش

مەسىلەن، ئادەتتىكى ئونلۇق ساناق سىستېمىسىدا نۆلدىن باشقا ھەر قانداق ناتۇرال سان نۆل بولمىغان رەقەم بىلەن باشلىنىدىغان چەكلىك رەقەملەر تىزىقى ئارقىلىق بىردىنبىر شەكىلدە كۆرسىتىلىدۇ.

بەزى ۋاقىتلاردا ساناق سىستېمىسىنى سان سىستېمىسى دەپمۇ ئاتاش مۇمكىن، لېكىن بۇ ئاتاش ئېنىق ئەمەس، چۈنكى ئۇ باشقا ماتېماتىكىلىق سىستېمىلارنىمۇ بىلدۈرۈشى مۇمكىن: ھەقىقى سانلار سىستېمىسى، كومپلېكس سانلار سىستېمىسى، ھەرقانداق گىپركومپلېكس سىستېمىلار، p-ئادىك سانلار سىستېمىسى ۋە باشقىلار. بىراق بۇ ماقالە شۇنداق سىستېمىلار ھەققىدە ئەمەس.

تارىخ

ئالىملارنىڭ قارىشىچە، ئەڭ بۇرۇنقى ساناق سىستېمىلىرى ھەرقانداق سىۋىلىزاتسىيەدە پەرقلىق بولغان: بابىللار 60-لىق سىستېمىنى ئىشلەتكەن، مىسىرلىقلار ئىيېرۇغلىف سانلىرىنى چىقارغان، خىتلار تاياقچە سانلىرىنى ئىشلىتىدىغان بولغان. مايلار بولسا مۇستەقىل ھالدا 20-لىق (يىگىرمىلىك) سىستېمىنى قۇرۇپ، نۆل ئۈچۈن خاس بەلگە قوشقان.

ھىندىستانلىق ماتېماتىكلار، مەسىلەن VII ئەسىردە ياشىغان براهماگۇپتا, ئارىفمېتىكىلىق قائىدىلەرنى سىستېمىلىق قىلىشتا ۋە نۆل نىزامىنى قۇرۇشتا مۇھىم رول ئوينىغان. كېيىن ئىسلام دۇنياسىدىكى ئالىملار، جۈملىدىن ئەل-خوارەزمى, بۇ پىكىرلەرنى داۋاملاشتۇرغان. ساناق سىستېمىلىرى تەرەققىي قىلغانسېرى، ئورۇن قىممەتلىك يازمىنىڭ قولايلىقى ۋە نۆلنىڭ قوشۇلۇشى زامانىۋى سان يازمىسىنىڭ شەكىللىنىشىغا ۋە دۇنيا سودا، پەن–تېخنىكىسىغا چوڭ تەسىر كۆرسەتكەن.

تۇنجى ھەقىقىي ئورۇن قىممەتلىك ساناق سىستېمىسى ھىندى–ئەرەب ساناق سىستېمىسى دەپ قارىلىدۇ. بۇ سىستېما VII ئەسىردە ھىندىستاندا قۇرۇلغان^[1], ئەمما تېخى ھازىرقى شەكلىدە ئەمەس ئىدى، چۈنكى نۆل كېڭى قوبۇل قىلىنمىغان. نۆل ئورنىغا بەزى ۋاقىتتا نۇقتا ئىشلىتىلگەن ياكى بوش ئورۇن قالدۇرۇلغان. نۆلنىڭ تۇنجى كۆپ قوبۇل قىلىنغان ئىشلىتىلىشى876-يىلىغا توغرا كېلىدۇ^[2]. ئەسلىدىكى سانلار بۈگۈنكىگە ناھايىتى ئوخشاش بولغان، ھەتتا بەلگىلەرگىچە^[1].

XIII ئەسىرگە كەلگەندە غەربى ئەرەب سانلىرى ياۋروپا ماتېماتىكا مۇھىتىدا ئىشلىتىلىشنى باشلىغان. فىبوناتچى ئۇلارنى ئۆزىنىڭLiber Abaci ناملىق كىتابىدا ئىشلىتكەن. دەسلەپتە قارشى تۇرۇش بولسىمۇ، ھىندى–ئەرەب سانلىرى ھېسابلاشتىكى قولايلىقى سەۋەبىدىن، ئالاھىدە بانكا ۋە سودا ساھەسىدە، ياۋروپادا كەڭ تارقالغان.

XV ئەسىردە نەشر ماتبا ئىختىرا قىلىنىپ، بۇ سانلارنىڭ ئىشلىتىلىشىنى سىتاندارتلاشتۇرغان، چۈنكى نەشر قىلىنغان ماتېماتىكا كىتابلىرى رىم سانلىرىغا قارىغاندا بۇ سىستېمىنى ئىلگىرى تۇتقان. XV ئەسىر ئاخىرىغا كەلگەندە ئۇلار كۈندىلىك تۇرمۇشقا كىردى^[3]. XX ئەسىر ئاخىرىغا كەلگەندە دۇنيادىكى بارلىق كومپيۇتېرسىز ھېسابلاشلار ئەرەب سانلىرى بىلەن ئېلىپ بېرىلغان بولۇپ، يەرلىك ساناق سىستېمىلىرى مەيدانتىن چىققان.

XVII ئەسىردە بۇ سىستېما پەن–ئىلىم ئەسەرلىرىدە ئۈستۈنلۈك قازىنىپ،ئىسحاق نيوتون ۋە رېنې دېكارت قاتارلىق ئالىملارنىڭ ماتېماتىكىلىق يېڭىلىقلىرىغا تەسىر كۆرسەتكەن. XIX–XX ئەسىرلەردە ئەرەب سانلىرىنىڭ كەڭ قوبۇل قىلىنىشى دۇنيا پىنانس، ئىنجىنىرلىك ۋە تېخنىكىنىڭ تەرەققىياتىنى ئاسانلاشتۇرۇپ، زامانىۋى كومپيۇتېر ۋە سانلىق مەلۇمات كۆرسىتىشنىڭ ئاساسىغا ئايلانغان.

رەقەم ئىشلىتىلگەن باشقا تارىخىي ساناق سىستېمىلىرى

مايا سانلىرىنىڭ توغرا يېشى نامەلۇم، ئەمما ئۇلار ھىندى–ئەرەب سىستېمىسىدىنمۇ كونا بولۇشى مۇمكىن. بۇ سىستېما يىگىرمىلىك (20-لىق) بولۇپ، يىگىرمە بەلگىدىن تەركىب тапقان. مايالار نۆلنى كۆرسىتىش ئۈچۈن قاپۇق بەلگىسىنى ئىشلىتىشگەن. سانلار تىك يازىلىپ، بىرلىكلەر ئاستىدا تۇرغان. مايالاردا ھازىرقى ئونلۇق ئايرىغۇچقا ئوخشاش بەلگە بولمىغان، شۇڭا ئۇلارنىڭ سىستېمىسى بۇلۇڭ سانلارنى كۆرسىتەلمىگەن.

تايلاند سانلىرى ھىندى–ئەرەب سىستېمىسىغا ئوخشاش، پەرقى پەقەت ئىشلىتىلگەن بەلگىلەردە. بۇ سانلارنىڭ ئىشلىتىلىشى تايلاندتا بۇرۇنقىچە كۆپ ئەمەس، ئەمما ھازىرغىچە ئەرەب سانلىرى بىلەن بىللە ئىشلىتىلىدۇ.^[4]

تاياقچە سانلار — بىر ۋاقىتتا خىتاي ۋە ياپون ماتېماتىكلارى ئىشلىتىدىغان يازما شەكىل، ئۇلار ئونلۇق ئورۇن قىممەتلىك سىستېما بولۇپ، ھېسابلاشلاردا ئىشلىتىلگەن. تاياقچىلار ھېساب تاختىسىغا قويۇلۇپ، ئالدىغا ياكى كەينىگە سۈرۈپ، ئونلۇق رازراد ئۆزگەرتىلگەن.

بىزنىڭ زامان III–V ئەسىرلەرگە تەۋە Sūnzĭ Suànjīng ناملىق ماتېماتىكىلىق ئەسەر بۇ سىستېما ھەققىدە تەپسىلىي كۆرسەتمىلەر بەرگەن. ئۇ ب.ز.د IV ئەسىردىن باشلاپ ئىشلىتىلگەن بولۇشى مۇمكىن دەپ قارىلىدۇ.^[5] ئالدىدا نۆل سان ئەمەس، بوش ئورۇن دەپ قارالغان.^[6] كېيىنكى مەنبەلەردە نۆل ۋە مەنپىي سانلارنى ئىپادىلەش قانۇنلىرى قوشۇلغان.

نۆل ئۈچۈن تۈگەرەك بەلگى 〇تۇنجى قېتىم 1247-يىلى يازىلغان توققۇز بۆلۈمدىن ئىبارەت ماتېماتىكىلىق رىسالادا كۆرۈلگەن.^[7] بۇ بەلگىنىڭ كېلىپ چىقىشى نامەلۇم؛ بەلكىم، كۋادرات بەلگىنى ئۆزگەرتىش ئارقىلىق ياسالغان بولۇشى مۇمكىن.^[8]. سۇجۇ سانلىرى — تاياقچە سانلاردىن تارىغان سىستېما، بۈگۈنكى كۈندە ھەم بازى سودا ئىشلىرىدا ئىشلىتىلىدۇ.

ئاساسى ساناق سىستېمىلىرى

ئەڭ كۆپ ئىشلىتىلىدىغان ساناق سىستېمىسى — ئونلۇق سىستېما. بۈتۈن سان نەشرىنى تەرەققىي قىلدۇرغاندا ھىندىستانلىق ماتېماتىكلارھىندى–ئەرەب رەقەم سىستېمىسىنى قۇرغان.^[8] V-ئەسىردە ئارىيابھاتائورۇن–قىممىتى نىشانلىشىنى قۇرغان، بىر ئەسىر ئۆتكەچ براهماگۇپتا نول بەلگىسىنى كىرگۈزگەن. بۇ سىستېما سودا ۋە ھەرۋى ئالاقىلەر ئارقىلىق ئەرەبستانغا تارقالغان. ئوتتۇرا شەرق ماتېماتىكلارى 10 نىڭ مەنپىي دەرىجىسىنى (كەسىر سانلارنى) قوشقان. بۇ ھەققىدە سۇرىيالىق ماتېماتىك ئەبۇل-ھەسن ئەل-ئۇقلېدىسى 952–953-يىللىرىدا يېزىپ قالدۇرغان.سىند ئىبىن ئەلى دەسما نۇقتىسىنى كىرگۈزۈپ، ئەرەب رەقەملەر ھەققىدە تۇنجى رىسالىنى يېزىپ چىققان. كېيىن بۇ سىستېما سودا ئارقىلىق ياۋروپاگە تارقالغان، ئۇ يەردە “ئەرەب رەقەملەر” دەپ ئاتالغان.

ئەڭ ئاددىي سىستېما — بىرلىك سىستېما. بۇ سىستېمىدا ھەر بىر تەبىئىي سان شۇنچە بەلگە بىلەن ئىپادىلىنىدۇ. مەسىلەن، بەلگە / بولسا، 7 سانى /////// شەكلىدە يېزىلىدۇ. ساناق بەلگىلىرى شۇنداق سىستېمىنىڭ ھازىرغىچە ئىشلىتىلىدىغان مىساللىرىدۇر. بىرلىك سىستېمىسى پەقەت كىچىك سانلارغا قۇلاي، لېكىن نەزەرىي كومپيۇتېر پەنلىرىدە زور رول ئوينايدۇ.

بىرلىك يېزىقنى يېڭى قىممەتلەر ئۈچۈن بەلگىلەرنى كىرگۈزۈپ قىسقارتىشقا بولىدۇ. بۇلار ئادەتتە 10 نىڭ دەرىجىلىرى بولىدۇ. مەسىلەن، / — 1، − — 10، + — 100 بولسا، 304 سانى +++ ////، 123 سانى + − − /// شەكلىدە يېزىلىدۇ. بۇ ئۇسۇل بەلگە–قىممەت يېزىقى دەپ ئاتىلىدۇ. قەدىمكى مىسىر سان سىستېمىسى بۇ تۈردىن ئىدى، رىم رەقەملەر بولسا شۇنىڭ ئۆزگەرتىلگەن شەكلى ئىدى.

تېخىمۇ قۇلاي سىستېمالار — بەلگىلەر قايتىلىنىشىنى قىسقارتىدىغان ئالاھىدە ئۇسۇلغا تايانغان. مەسىلەن، A بىر قېتىم، B ئىككى قېتىم دېگەن مەنىدە ھەرپلەر ئىشلىتىلسە، 304 سانى C+ D/ شەكلىدە يېزىلىدۇ. بۇ سىستېما خىتاي ۋە شەرقىي ئاسىيا رەقەملەرگە ئىشلىتىلىدۇ. ئىنگلىز تىلىدىكى سان سىستېمىسىمۇ شۇنداق تۈردىن (“three hundred four”).

ئەڭ مۇكەممەل سىستېما — ئورۇن قىممەتلىك سىستېما. ئۇلار ئاساسىغا ئاساسەن تۈرلەندۈرۈلىدۇ. ئونلۇق سىستېمىدا 0–9 رەقەملەر ئىشلىتىلىدۇ، رەقەمنىڭ ئورنى ئۇنىڭ قايسى دەرىجىدىكى 10 بىلەن كۆپەيتىلىدىغانلىقىنى كۆرسىتىدۇ: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 = 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. بۇ يەردە نول مۇھىم رول ئوينايدۇ.

ئارىفمېتىكىلىق ئەمەللەر ئورۇن قىممەتلىك سىستېمىدا تېخىمۇ ئاددىي. قوشۇش سىستېمىسىدا كۆپ بەلگە كېرەك بولسا، ئونلۇق ئورۇن قىممەتلىك سىستېمىدا 10 بەلگە كىلىشىدۇ.

ئورۇن قىممەتلىك سىستېمىلارنىڭ تەپسىلاتى

ئاساس b بولغان ئورۇن قىممەتلىك ساناق سىستېمىسىدا (b — 1 دىن چوڭ بولغان تەبىئىي سان) نۆلدىن b – 1غىچە بولغان تەبىئىي سانلارغا ماس كېلىدىغان b نۇپۇز (سىمۋول، رەقەم) ئىشلىتىلىدۇ. باشقا سانلار رەقەمنىڭ ئورنىغا قاراپ ھاسىل قىلىنىدۇ: ئوڭ تەرەپتىكى رەقەم ئۆزىنىڭ قىممىتىگە ئىگە، سولغا يۆتكىلىشى بىلەن قىممىتى bگە كۆپىيىتىلىدۇ.

مەسىلەن، ئونلۇق سىستېمىسىدا (ئاساس 10) 4327 = (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), بۇ يەردە 10⁰ = 1.

ئادەتتە سان بۇنداق يېزىلىدۇ:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰, رەقەملەر aₙ aₙ₋₁ ... a₀ تەرتىپىدە كۆرسىتىلىدۇ. رەقەملەر 0 دىن b – 1غىچە بولىدۇ.

ھەر خىل ئاساسلاردا يېزىلغان سانلاردا ئاساس تۆۋەن ئىندېكس بىلەن كۆرسىتىلىدۇ:سان_ئاساس. ئىندېكسسىز سانلار ئادەتتە ئونلۇق دەپ قارىلىدۇ.

نۇقتا ئىشلىتىش ئارقىلىق پۈتۈن ۋە كەسىر سانلارنى ئايرىشقا بولىدۇ. مەسىلەن، 2 ئاساسىدا 10.11 = 2.75.

ئادەتتىكى فورمۇلا:

bᵏ ۋە b⁻ᵏ رەقەمنىڭ ئېغىرلىقىنى بىلدۈرىدۇ. ئورۇن k — شۇ ئېغىرلىقنىڭ لوگارىتېمى. ئەڭ يۇقىرى ئورۇن ساننىڭ تەرتىپىگە ماس كېلىدۇ.

ئۇنارى سىستېمىسىدا ئېغىرلىق ئۈچۈن w بەلگە كېرەك بولاتتى. ئورۇن قىممەتلىك سىستېمىدا پەقەت log_bw + 1 رەقەم كિફايە. مەسىلەن، 1000 ئۈچۈن 4 رەقەم يېتەرلىك.

رەسىيونال سانلارنىڭ يېزىلىشى يا توختايدۇ ياكى پەيتتە قايتىلىنىدۇ. ئىرراتسىيونال سانلار ھەممە ئاساسلاردا چېكسىز ۋە قايتىلماس بولۇپ قالىدۇ.

قايتىلىدىغان سانلارنى كۆرسىتىشتە ئۈستىگە سىزىق ياكى نۇقتا قويۇلىدۇ. مەسىلەن: 14/11 = 1.2727...

ئەگەر b = p ئاددى سان بولسا، سولغا قاراپ چېكسىز كېڭىيىدىغان p-ئادىك سانلارنى ئېنىقلىغىلى بولىدۇ.

ئۇنداقلا، رەقەملەر مۇسبەت ياكى مەنپىي بولىدىغان نۇرغۇن ئۆزگىرىشچان سىستېمىلارمۇ مەۋجۇت؛ بۇ ئىشارەتلىك رەقەم كۆرسىتىشى دەپ ئاتىلىدۇ.

ئومۇمىي ئۆزگىرىشچان ئۇزۇنلۇقتىكى پۈتۈن سانلار

ئۇمۇملاشقان ئۇسۇل — ئارىلاش ئاساسلىق يېزىش (بۇ يەردە little-endian شەكلىدە). مەسىلەن: a₀a₁a₂ = a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂.

بۇ Punycode دا ئىشلىتىلىدۇ. ئۇنىڭدا ھەر قانداق چوڭلۇقتىكى مەنپىي بولمىغان پۈتۈن سانلار قاتارى بۆلگۈچسىز، 36 بەلگە ( a–z, 0–9 ) ئارقىلىق يېزىلىدۇ. ئۇلار 0–25 ۋە 26–35 قىممەتلىرىگە ماس كېلىدۇ.

ھەر بىر ئورۇننىڭ ئالدىن بېكىتىلگەن چەك قىممەتلىرى t₀, t₁, ... بار. ئەگەر aᵢ ئۆزىگە ماس چەكتىن كىچىك بولسا، ئۇ ئەڭ مۇھىم خانە بولىدۇ. بۇ ساننىڭ ئاخىرىنى كۆرسىتىدۇ، كېيىنكى بەلگە يېڭى ساننىڭ باشلىنىشىدۇر.

مەسىلەن، بىرىنچى رەقەم ئۈچۈن b = 1 بولسا، a = 0 سان تاماملانغانلىقىنى بىلدۈرىدۇ. كۆپ خانىلىق سانلاردا بىرىنچى رەقەم پەقەت 1–35 بولالايدۇ. بۇ چاغدا بىرىنچى ئېغىرلىق 35 بولىدۇ. ئۇمۇمىي شەكلى: bₙ₊₁ = 36 − tₙ.

ئىككىنچى ۋە ئۈچۈنچى رەقەمنىڭ چەك قىممىتى c = 2 بولسا، ئىككىنچى رەقەم 0–1 ياكى 2–35 بولالايدۇ. ھەر ۋاقىت (n+1)-رەقەمنىڭ ئېغىرلىقى ئالدىنقىغا 36 − tₙ نى كۆپەيتىش ئارقىلىق ھاسىل بولىدۇ.

مەسىلەن:
2-بەلگىنىڭ ئېغىرلىقى = 36 − t₀ = 35
3-بەلگىنىڭ ئېغىرلىقى = 35 × (36 − t₁) = 1190

شۇڭا، 3 خانىلىق سانلار تىزىقى بۇنداق:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 99b (2450)

ئادەتتىكى n-ئاساسلىق سىستېمىدىن پەرقلىق، بۇ يەردە 9b بار، ئۇ يەردە 9 ۋە b ھەر ئىككىسى 35 نى بىلدۈرىدۇ. ئەمما يېزىش بىردىن-بىرلا، چۈنكى ac ۋە aca قوبۇل قىلىنمايدۇ.

چەك قىممەتلىرىنى تاللاش ئىقتىدارى سانلارنىڭ چوڭ-كىچىكلىكىگە ئاساسەن ئوڭايلاشتۇرۇشقا ياردەم بېرىدۇ.

ئەگەر بارلىق چەك قىممەتلىرى 1 بولسا، بۇ بىيجېكتىپ سىستېماغا ماس كېلىدۇ، نۆل بەلگىلىرى ئايرىغۇچى رولىنى ئوينايدۇ.

ئەدەبىيات

O'Connor, J. J. ۋە Robertson, E. F. Arabic Numerals (ئەرەب سانلىرى). يناير 2001.
Bill Casselman. "All for Nought" (ھەممىسى بوشقا). Feature Column. AMS. فېۋرال 2007.
Bradley, Jeremy. "How Arabic Numbers Were Invented" (ئەرەب سانلىرى قانداق ئىختىرا قىلىنغان). theclassroom.com.
"Wissanu rejects dumping Thai numerals" (ۋىسانۇ تايلاند سانلىرىنى تاشلاشنى رەت قىلدى). Bangkok Post. 31 ماي 2022.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2004). "Chinese numerals" (خىتاي سانلىرى). University of St Andrews.
Shen Kuo ۋە باشقىلار (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art (ماتېماتىكىلىق سەنئەتنىڭ توققۇز بابى). Oxford University Press.
"Mathematics in the Near and Far East" (يېقىن ۋە يىراق شەرقتىكى ماتېماتىكا). grmath4.phpnet.us.
Martzloff, Jean-Claude (2007). A History of Chinese Mathematics (خىتاي ماتېماتىكىسى تارىخى).
David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu–Arabic numerals (ھىندى–ئەرەب سانلىرى).
Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS (DBNS ئاساسىدىكى ئۈنۈملۈك كۆپەيتكۈچ لايىھىسى). GIAP Journals.
Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neural network models of birdsong..." (قۇش ناغمىسىنىڭ نېيىرون توردىكى مودېللىرى...) New Encyclopedia of Neuroscience (يېڭى نېيىرون-ئىلىم ئىلمىنىڭ ئىزلانمىلىرىدا).

مەنبە

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers (سانلارنىڭ ئۇمۇمى تارىخى). Wiley, 1999.
D. Knuth. The Art of Computer Programming (كومپيۇتېر پروگرامماچىلىق سەنئىتى). Addison–Wesley, 3-نەشرى.
A.L. Kroeber. Handbook of the Indians of California (كالىفورنىيە ئىندىئانلىرى قولاينامىسى). Smithsonian Institution.
J.P. Mallory; D.Q. Adams. Encyclopedia of Indo-European Culture (ھىند–ياۋروپا مەدەنىيەت ئىزلانمىلىرى).
Hans J. Nissen ۋە باشقىلار (1993). Archaic Bookkeeping (قەدىمىي ھېساباتچىلىق). University of Chicago Press.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About (خەت قانداق پەيدا بولغان). University of Texas Press.
Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts (ئافرىقا سانايدۇ). Chicago Review Press.