Позицион һәм позицион булмаган исәпләү системалары

Исәпләү системасы нәрсә?

Исәпләү системасы — саннарны билгеләү һәм язу кагыйдәләре җыелмасы. Һәр система нигезгә (base) һәм цифрлар җыелмасына ия була. Мәсәлән, унарлы системада нигез 10, цифрлар 0–9.

Позицион белән позицион булмаган арасы

Позицион системаларда цифр кыйммәте торган урынына бәйле. Мәсәлән, 507 санында 5 — йөзләрне, 0 — уннар разрядын, 7 — берләрне белдерә. Позицион булмаган системаларда исә цифр, кайда торуына карамастан, шул ук кыйммәткә ия; сан кыйммәте цифрларның җәмгесе яки кагыйдәле комбинациясе буенча исәпләнә.

Позицион булмаган системалар

• Санау сызыклары (tally): |||| = 4, |||| ||| = 7. Һәр сызык һәрвакыт 1-гә тиң; урнашу әһәмиятле түгел.
• Рим саннары: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Саннар, нигездә, кушу (кайвакыт субтракция – алу) кагыйдәләре белән төзелә. Мәсәлән, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Борынгы Мисыр саннары: берлек, унлык, йөзлек билгеләрен кабатлап җыю аша язалар (урын әһәмиятле түгел).

Позицион булмаган системаларда зур саннарны язу күп тамгалар таләп итә һәм арифметик гамәлләр (аеруча тапкырлау/бүлү) катлаулана.

Позицион системалар

Позицион системада сан түбәндәге полином рәвешендә аңлатыла:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Шарт: 0 ≤ a_i < b

Биредә b — системаның нигезе; унарлыда b=10, икеледә b=2, уналтылыда b=16. 0 цифры позицион системаларда мөһим: ул урын тутыручы һәм «юк кыйммәтне» күрсәтүче символ булып хезмәт итә.

• Унарлы (b=10): көндәлек тормышта, финанс һәм үлчәүләрдә стандарт.
• Икеле (b=2): компьютерлар логикасы (0/1) һәм санлы электрониканың нигезе.
• Сигезле (b=8) һәм уналтылы (b=16): бит төркемнәрен компакт күрсәтү өчен программалаштыруда уңайлы.
• Бишле (b=5), алтылы (b=6), егермеле (b=20), алтмышарлы (b=60): төрле мәдәният һәм тарихи практикаларда очрый (мәсәлән, вакыт һәм почмакларда алтмышарлы система).

Нигә позицион системалар уңайлы?

1. Компакт язылыш: Бер үк кыйммәтне азрак символ (цифр) белән белдерергә мөмкин.
2. Алгоритмик арифметика: Көшу, алу, тапкырлау, бүлү өчен тотрыклы, кабатлана торган алгоритмнар бар.
3. Масштаблану: Нигез алышынса да уртак кагыйдәләр (разряд кыйммәте, дәрәҗәләр) саклана.

Позицион булмаган системаларда арифметика ни өчен кыен?

• Җыю нигезендә төзелеш: Цифрлар өстәлә; тапкырлау кабатлы кушуга әйләнә, язылыш катлаулана.
• Субтрактив кагыйдәләр: Рим саннарындагы IV, IX кебек очраклар алгоритмнарны гади итми.
• 0 цифры юк яки сирәк: Урын тутыручы булмавы системаны гомумиләштерүне кыенлаштыра.

Берничә мисал карыйк:

• Рим → унарлы: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• Икеле → унарлы: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Унарлы → уналтылы: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Унарлы → икеле (өлешле сан): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (кабатланучан).

Өстәмә: еш очрый торган хаталар

• Нигездән зур цифр куллану: мәсәлән, икеледә 2 яки 3 була алмый.
• Өлешле санны күчерүне вакытыннан алда туктату: хатаны контрольдә тоту өчен адым саны һәм төгәллек алдан билгеләнергә тиеш.
• Рим саннарында субтракцияне дөрес кулланмау: IL (49) стандарт буенча дөрес түгел; дөресе — XLIX.

Позицион булмаган системалар тарихи-мәдәни яктан кызык булса да, бүгенге фән һәм техникада позицион системалар гамәли яктан өстен. Аларның көчле ягы — разряд кыйммәте, 0 цифры һәм алгоритмик арифметика. Күчерү (конвертация) ысулларын белү программалаштыру һәм инженерлыкта көндәлек эшне җиңеләйтә.