Исәпләү системасы

Исәпләү системасы

Исәпләү системасы — саннарны язма рәвештә күрсәтү ысулы, ягъни билгеле бер саннар җыелмасын цифрлар яки башка билгеләр ярдәмендә тәртипле һәм бердәм рәвештә чагылдыручы математик язма система.

Бер үк билгеләр тезмәсе төрле исәпләү системаларында төрлечә мәгънәгә ия булырга мөмкин. Мәсәлән, "11"унарлы исәпләү системасында (бүген дөньяда иң киң таралганы) ун берне аңлата, икеле системада (заманча компьютерларда кулланыла) өчне белдерә, ә берле системада (тамга-санаганда кулланыла) ике санын күрсәтә.

Санны күрсәткән билгенең мәгънәсе аның кыйммәте дип атала. Барлык исәпләү системалары да бер үк саннар җыелмасын күрсәтә алмый; мәсәлән, Рим, Борынгы грек һәм Мисыр саннары нуль өчен махсус билгегә ия түгел.

Идеаль исәпләү системасы түбәндәгеләргә ия булырга тиеш:

• Файдалы саннар җыелмасын күрсәтү (мәсәлән, бөтен яки рациональ саннар)
• Һәр санга үзенчәлекле һәм төгәл күрсәткеч бирү (яки ким дигәндә стандарт форма)
• Саннарның алгебраик һәм арифметик төзелешен чагылдыру

Мәсәлән, гадәти унарлы системада нульдән башка һәр натурал сан нуль булмаган цифрдан башланган чикле цифрлар тезмәсе аша үзенчәлекле рәвештә күрсәтелә.

Кайчак исәпләү системаларын саннар системасы дип тә атыйлар. Әмма бу атама ачык түгел, чөнки ул башка математик системаларны да аңлатырга мөмкин: чын саннар системасы, комплекс саннар системасы, төрле гиперкомплекс системалар, p-адик саннар системасы һ.б. Әмма әлеге мәкалә мондый системалар турында түгел.

Тарих

Галимнәр фикеренчә, беренче исәпләү системалары төрле цивилизацияләрдә төрлечә булган: бабыллылар алтмышарлы системаны кулланган, мисырлылар иероглиф саннарын уйлап тапкан, кытайлылар таякча саннарны кулланган. Майялар исә мөстәкыйль рәвештә егермеле системаны булдырганнар һәм анда нуль өчен махсус билге керткәннәр.

Һинд математиклары, мәсәлән, VII гасырда яшәгән Брахмагупта, арифметик кагыйдәләрне системалаштыруда һәм нуль төшенчәсен формалаштыруда мөһим роль уйнаган. Соңрак ислам дөньясындагы галимнәр, шул исәптән Әл-Хорәзми, бу фикерләрне үстергән. Исәпләү системалары камилләшкән саен, позицион язуның уңайлылыгы һәм нульнең керүе заманча сан язуын формалаштырган һәм дөнья сәүдәсенә, фәнгә һәм технологиягә зур йогынты ясаган.

Беренче чын позицион язма система һинд–гарәп исәпләү системасы булып санала. Ул VII гасырда Һиндстанда барлыкка килгән^[1], ләкин әле хәзерге кыяфәтендә булмаган, чөнки нуль киң таралмаган. Нуль урынына кайчак нокта куелган, яки бушлык калдырылган. Нульнең беренче киң кулланылышы 876 елга карый^[2]. Башлангыч саннар хәзергеләргә бик охшаш булган, хәтта билгеләре дә диярлек шул ук булган^[1].

XIII гасырга кадәр гарәп–көнбатыш саннары Европаның математик даирәләрендә кулланыла башлаган. Мәсәлән, Фибоначчи аларны үзенеңLiber Abaci исемле әсәрендә кулланган. Башта каршы тору булса да, һинд–гарәп саннары хисаплаудагы уңайлылыгы аркасында, бигрәк тә банк һәм сәүдә өлкәсендә, Европада киң таралган.

XV гасырда басма станогы уйлап табылу бу саннар кулланылышын стандартлаштырган, чөнки басма математика китаплары рим саннарына караганда бу системаны сайлаган. XV гасыр ахырына алар көндәлек кулланылышка кергән^[3]. XX гасыр ахырына бөтен дөньяда компьютерсыз исәпләүләр, нигездә, гарәп саннары белән башкарылган, ә милли исәпләү системалары кулланылыштан чыккан.

XVII гасырда бу система фәнни хезмәтләрдә өстенлек ала башлаган һәмИсаак Ньютон, Рене Декарт кебек галимнәрнең ачышларына тәэсир иткән. XIX–XX гасырларда гарәп саннарының киң таралуы дөнья финансын, инженериясен һәм технологиясен үстерүгә булышлык иткән, заманча компьютерлар һәм санлы мәгълүмат күрсәтүнең нигезен салган.

Цифрлар кулланган башка тарихи исәпләү системалары

Майя цифрларының төгәл яше билгесез, ләкин алар һинд–гарәп системасыннан да борынгырак булуы мөмкин. Бу система висизималь (егермеле) булып, егерме билгедән торган. Майялар нульне күрсәтү өчен кабык символын кулланганнар. Цифрлар вертикаль язылган, берләр разряды аста урнашкан. Майяларда хәзерге дистәле аергыч кебек билге булмаганга күрә, аларның системасы вакланма саннарны күрсәтә алмаган.

Тай цифрлары системасы һинд–гарәп системасына охшаш, тик кулланылган символлары белән генә аерыла. Бу цифрлар хәзер Таиландта элеккегә караганда сирәгрәк кулланыла, әмма әле дә гарәп цифрлары белән янәшә кулланыла.^[4]

Таякча цифрлар — кытай һәм япон математиклары кулланган язма формалар, алар унарлы позицион система буларак исәпләүләрдә файдаланылган. Таякчалар санау тактасына куелган һәм алга яки артка күчереп, дистә разряды үзгәртелгән.

Б.э. III–V гасырларына караган Sūnzĭ Suànjīng исемле математик хезмәт бу система турында җентекле күрсәтмәләр бирә. Ул ким дигәндә б.э.к. IV гасырдан ук кулланылган дип санала.^[5] Башта нуль сан түгел, ә буш урын итеп кабул ителгән.^[6] Соңрак чыганакларда нуль һәм тискәре саннарны күрсәтү кагыйдәләре кертелгән.

Нуль өчен түгәрәк символ 〇беренче тапкыр 1247 елгы Тугыз бүлектән торган математик трактатта теркәлгән.^[7] Бу символның килеп чыгышы билгесез; ихтимал, ул квадрат билгене үзгәртеп ясалгандыр^[8]. Сучжоу цифрлары, таякча цифрларының дәвамчысы буларак, бүген дә кайбер сәүдә максатларында кулланыла.

Төп исәпләү системалары

Иң күп кулланыла торган исәпләү системасы — унарлы (decimal) системасы. Аның бөтен санлы версиясен эшләп чыгуда һинд математиклары зур роль уйнаган, алар һинд–гарәп исәпләү системасын булдырганнар.^[8] V гасырда Кусумпурадан Арьябхатаразряд кыйммәтен язуда кулланган, ә бер гасыр үткәч Брахмагупта нуль символын керткән. Система сәүдә һәм хәрби элемтәләр аша әкренләп Гарәп иленә таралган. Урта Көнчыгыш математиклары системаны киңәйтеп, 10 ның тискәре дәрәҗәләрен (өлешләрне) дә өстәгән. Бу хакта 952–953 елларда сирияле математик Әбүл-Хәсән әл-Уклидиси язган.Синд ибн Гали унарлы нокта язылышын керткән һәм гарәп саннары турында беренче трактат язган. Соңрак система сәүдәгәрләр аша Европага килеп, анда «гарәп саннары» дип атала башлаган.

Иң гади система — берәмлек (unary) системасы. Анда һәр натурал сан шул ук сандагы символ белән күрсәтелә. Мәсәлән, әгәр символ / булса, 7 саны /////// рәвешендә языла. Сызым тамгалары (tally marks) — бүген дә кулланылган мисал. Берәмлек системасы бары тик кечкенә сандар өчен генә уңайлы, әмма теоретик информатикада әһәмиятле урын тота. Мәсәлән, мәгълүмат кысуда кулланылган Elias gamma кодлавы unary системаны файдалана.

Берәмлек язылышын яңа кыйммәтләр өчен билгеләр өстәп кыскартып була. Күп вакытта бу кыйммәтләр 10 ның дәрәҗәләре була. Мәсәлән, / — 1, − — 10, + — 100 булса, 304 саны +++ ////, ә 123 саны + − − /// рәвешендә языла. Бу ысул билге–кыйммәт язылышы дип атала. Борынгы Мисыр исәпләү системасы шул төргә караган, ә Рим саннары — аның үзгәртелгән варианты булган.

Тагын да уңайлырак — символ кабатлануларын кыскарту өчен махсус билгеләр кулланган системалар. Мәсәлән, әгәр алфавитның беренче тугыз хәрефе кулланылса (A — бер тапкыр, B — ике тапкыр һ.б.), 304 саны C+ D/ рәвешендә языла ала. Мондый системалар Кытай һәм Көнчыгыш Азия саннарында кулланыла. Инглиз телендәге исәпләү системасы да шул төргә керә (“three hundred four”).

Иң камиле — разрядлы (позицион) система. Системалар нигезенә карап классификацияләнә. Унарлы системада 0–9 цифрлары кулланыла, цифрның урыны аның нинди 10 дәрәҗәсенә тапкырлануын күрсәтә: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, ягъни 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Монда нуль бик мөһим роль уйный, чөнки ул разрядларны «үтәргә» мөмкинлек бирә.

Арифметик гамәлләрне позицион системада башкару күпкә җиңелрәк. Өстәмә системаларда төрле дәрәҗәләр өчен күп билгеләр кирәк, ә унарлы позицион системада 10 символ гына җитә.^[10]

Бүгенге көндә унарлы позицион система бөтен дөньяда кулланыла. Шулай ук 1000 нигезле форма да очрый (мәсәлән: 1,000,234,567).

Компьютерларда төп система — ике нигезле позицион система (бинар). Ул бары тик 0 һәм 1 цифрларына нигезләнә. Бинарны өчләтеп төргәләү 8 нигезле, дүртләтеп төргәләү 16 нигезле системаны бирә. Бик зур сандар өчен 2³² яки 2⁶⁴ нигезле системалар кулланыла.

Кайбер биологик системаларда да берәмлек системасы кулланыла. Мәсәлән, кошларның сайравын көйләүче нейрон челтәрләрдә. Кош мие үзәгендәге HVC өйрәнү һәм тавыш чыгару процессында катнаша.

Цифрлар ике төргә бүленә: арифметик (0–9) һәм геометрик (1, 10, 100...). Билге–кыйммәт системалары геометрик цифрларны, позицион системалар арифметик цифрларны куллана. Әмма сөйләм телендә икесе дә кулланыла.

Информатикада кайчак үзгәртелгән k-нигезле система кулланыла, аны биектив һанау дип атыйлар. Анда цифрлар 1, 2, …, k, ә нуль буш юл белән билгеләнә. Биектив 1-нигезле система unary системасына тигез.

Урынлы системаларның тәфсилле аңлатмасы

Урынлы b нигезле исәпләү системасында (b — 1-дән зуррак булган натураль сан, ул системаның нигезе йә радиксы дип атала) 0-дән башлап b – 1 кадәрге натураль саннарга туры килгән b төп символ (цифр) кулланыла. Калган саннар цифрларның урыны (позициясе) буенча ясала: уңдагы соңгы цифр үз кыйммәтен белдерә, ә сулга күчкән саен кыйммәте b тапкыр арта.

Мәсәлән, унлы системада (нигез 10) 4327 саны болай языла: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), монда 10⁰ = 1.

Гомум очракта b нигезендә сан түбәндәге формула белән языла:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰, һәм цифрлар aₙ aₙ₋₁ ... a₀ тәртиптә языла. Цифрлар 0-дән b – 1 кадәрге натураль саннар була ала.

Әгәр берничә нигез турында сүз барса, буталмасын өчен нигез санның индексында күрсәтелә:саннигез. Индекссыз саннар гадәттә унарлы дип кабул ителә.

Нокта кулланып, санны ике өлешкә бүлеп, вакланма (каср) саннарны да язарга мөмкин. Мәсәлән, 2 нигезендә 10.11 = 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75.

Гомум формула болай күренә:

bᵏ һәм b⁻ᵏ — цифрларның авырлыклары.k урыны шул авырлыкның логарифмы. Иң зур урын санның тәртибенә якын.

Унар системада авырлыкны белдерү өчен w тамга кирәк булыр иде. Урынлы системада исә бары тик logbw + 1 цифр җитә. Мәсәлән, 1000 өчен 4 цифр җитә, чөнки log₁₀1000 + 1 = 4.

Рациональ саннар һәрвакыт йә тәмамлана, йә периодик була. Иррациональ саннар һәр нигездә дә чиксез һәм кабатланмый торган язылышка ия.

Периодик вакланмаларны күрсәтү өчен кабатлана торган цифрлар өстенә сызык (27) йә нокта куела. Мәсәлән: 14/11 = 1.2727... = 1.27.

Әгәр b = p — ябай сан булса, сулга таба чиксез дәвам итүче p-адик саннар билгеләнә ала.

Шулай ук цифрлар уңай да, тискәре дә булырга мөмкин булган вариант бар; ул тамгалы (имзалы) цифрлы күрсәтелеш дип атала.

Гомуми үзгәрүчән озынлыклы бөтен саннар

Гомуми очрак — катнаш нигезле язылыш куллану (монда little-endian рәвешендә). Мәсәлән: a₀a₁a₂ = a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂.

Бу Punycode системасында кулланыла. Анда теләсә нинди зурлыктагы кире булмаган бөтен саннар теҙмәсе бүлгесез рәвештә, 36 символдан (a–z, 0–9) торган “цифрлар” ярдәмендә языла. Алар 0–25 һәм 26–35 кыйммәтләренә туры килә.

Һәр урын өчен t₀, t₁, ... кебек чикләү кыйммәтләре бар. Әгәр aᵢ үз урыны өчен чиктән кечерәк булса, ул иң әһәмиятле цифр булып санала. Бу санның ахырын күрсәтә, ә аннан соңгы символ яңа санның иң кечкенә цифры була.

Мәсәлән, беренче цифр өчен b = 1 булса, a = 0 сан тәмам булуын күрсәтә. Күпразрядлы саннарда беренче цифр бары тик 1–35 диапазонында була ала. Шул вакытта b₁ = 35 була. Гомуми формула: bₙ₊₁ = 36 − tₙ.

Икенче һәм өченче цифрлар өчен чикләү c = 2 булса, икенче цифр 0–1 яисә 2–35 була ала. Гомуми очракта (n+1)-цифр авырлыгы алдагысына 36 − tₙ тапкыр була.

Мисал:
2-нче символ авырлыгы = 36 − t₀ = 35
3-нче символ авырлыгы = 35 × (36 − t₁) = 1190

Шулай итеп, иң күбе 3 разрядлы саннар рәтен алабыз:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 99b (2450)

Гадәти n-ник системадан аермалы буларак, монда 9b бар, анда 9 да, b да 35 дип аңлатыла. Әмма язылыш бер генә, чөнки ac яки aca ярамый — беренче a сан тәмам булуын белдерә.

Чикләү кыйммәтләрен сайлау мөмкинлеге төрле зурлыктагы саннар ешлыгына карап цифрлар санын оптимальләштерә.

Әгәр бөтен чикләүләр 1 булса, бу биектив системага туры килә, анда нульләр аергыч ролен уйный.