Sayı sistemi

Sayı sistemi

Sayı sistemi — sayıların yazılı biçimde ifade edilme yöntemi, yani belli bir sayı kümesini rakamlar veya semboller aracılığıyla düzenli ve tutarlı şekilde göstermeye yarayan matematiksel yazı sistemidir.

Aynı semboller dizisi farklı sayı sistemlerinde farklı anlamlar taşıyabilir. Örneğin, "11" onluk sayı sisteminde (bugün dünyada en yaygın kullanılan) on biri ifade eder, ikilik sayı sisteminde (modern bilgisayarlarda kullanılır) üçü gösterir, birli sayı sisteminde ise (çetele tutmada) ikiye karşılık gelir.

Bir sembolün temsil ettiği sayıya onun değeri denir. Tüm sayı sistemleri aynı sayı kümesini gösteremez; örneğin, Roma, Yunan ve Mısır rakamlarında sıfır için özel bir sembol bulunmaz.

İdeal bir sayı sistemi şu özelliklere sahip olmalıdır:

• Faydalı bir sayı kümesini temsil etmek (ör. tüm tam sayılar veya rasyonel sayılar)
• Her sayıya özgün ve açık bir gösterim sağlamak (ya da en azından standart bir gösterim)
• Sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtmak

Örneğin, klasik onluk sayı sisteminde sıfırdan farklı her doğal sayı, başında sıfır olmayan rakamla başlayan sonlu bir rakamlar dizisiyle tekil biçimde ifade edilir.

Bazen sayı sistemlerine sayılar sistemi de denir. Ancak bu ad açık değildir, çünkü bu terim başka matematiksel sistemleri de ifade edebilir: gerçek sayılar sistemi, karmaşık sayılar sistemi, çeşitli hiperkarmaşık sistemler, p-adik sayılar sistemi vb. Ancak bu makale böyle sistemler hakkında değildir.

Tarih

Bilginlere göre, ilk sayı sistemleri uygarlıklara göre farklılık göstermiştir: Babilliler 60 tabanlı bir sistem kullanmış, Mısırlılar hiyeroglif rakamları geliştirmiş, Çinliler çubuk rakamları kullanmıştır. Mayalar ise bağımsız olarak 20 tabanlı (vigesimal) bir sistem oluşturmuş ve buna sıfır için özel bir sembol eklemişlerdir.

Hintli matematikçiler, örneğin 7. yüzyılda yaşamış olan Brahmagupta, aritmetik kuralları sistemleştirmede ve sıfır kavramını tanımlamada kritik rol oynamışlardır. Daha sonra İslam dünyasındaki bilginler, özellikle El-Harezmi, bu fikirleri geliştirmiştir. Sayı sistemleri evrildikçe, konumsal yazının verimliliği ve sıfırın eklenmesi modern sayı gösterimini şekillendirmiş, küresel ticaret, bilim ve teknolojiye büyük etki etmiştir.

İlk gerçek yazılı konumsal sayı sistemi Hint–Arap sayı sistemi kabul edilmektedir. Bu sistem 7. yüzyılda Hindistan’da ortaya çıkmıştır^[1], fakat henüz modern biçimde değildi, çünkü sıfırın kullanımı yaygınlaşmamıştı. Sıfır yerine bazen noktalar kullanılmış ya da boşluk bırakılmıştır. Sıfırın ilk geniş kabul gören kullanımı876 yılında gerçekleşmiştir^[2]. Orijinal rakamlar bugünkülere çok benziyordu, hatta kullanılan işaretlere kadar^[1].

13. yüzyıla gelindiğinde Batı Arap rakamları Avrupa’daki matematik çevrelerinde kabul görmeye başlamıştı. Örneğin, Fibonacci onları Liber Abaciadlı eserinde kullanmıştır. Başlangıçta direnişle karşılaşsa da, Hint–Arap rakamları hesaplamadaki verimliliği nedeniyle, özellikle bankacılık ve ticarette Avrupa’da hızla yayılmıştır.

15. yüzyılda matbaanın icadı, bu rakamların kullanımını standartlaştırmıştır; çünkü basılı matematik kitapları Roma rakamları yerine bu sistemi tercih etmiştir. 15. yüzyılın sonlarına doğru günlük hayata girmiştir^[3]. 20. yüzyılın sonuna gelindiğinde dünyadaki bilgisayarsız tüm hesaplamalar Arap rakamları ile yapılır hale gelmiş, yerel sayı sistemleri büyük ölçüde terk edilmiştir.

17. yüzyılda bu sistem bilimsel çalışmalarda baskın hale gelmiş,Isaac Newton ve René Descartes gibi isimlerin matematiksel ilerlemelerine etki etmiştir. 19. ve 20. yüzyıllarda Arap rakamlarının geniş çapta benimsenmesi, küresel finans, mühendislik ve teknolojinin gelişmesini sağlamış, modern bilgisayar ve dijital veri gösteriminin temelini oluşturmuştur.

Rakam kullanan diğer tarihî sayı sistemleri

Maya rakamlarının kesin yaşı bilinmemektedir, ancak Hind–Arap sisteminden daha eski olması mümkündür. Sistem vigesimal (20 tabanlı) idi ve yirmi rakamdan oluşuyordu. Mayalar sıfırı temsil etmek için deniz kabuğu sembolü kullanmışlardır. Rakamlar dikey yazılır, birler basamağı altta bulunurdu. Mayaların modern ondalık ayırıcıya benzer bir işareti olmadığından, sistem kesirleri ifade edemiyordu.

Tay rakam sistemi, Hind–Arap sistemine özdeştir, ancak kullanılan semboller farklıdır. Bu rakamların kullanımı Tayland’da eskisi kadar yaygın değildir, fakat hâlen Arap rakamlarıyla birlikte kullanılmaktadır.^[4]

Çubuk rakamları, Çinli ve Japon matematikçiler tarafından kullanılan yazılı biçimlerdir. Bu sistem onluk konumsal sistemdi ve onluk hesaplamalarda kullanılırdı. Çubuklar bir hesap tahtasına yerleştirilir, öne veya arkaya kaydırılarak basamak değeri değiştirilirdi.

MS 3–5. yüzyıllara tarihlenen Sūnzĭ Suànjīng adlı matematik eseri bu sistem için ayrıntılı talimatlar sunar. Bunun en az MÖ 4. yüzyıldan beri kullanıldığı düşünülmektedir.^[5] Başlangıçta sıfır bir sayı değil, boş konum olarak kabul edilmiştir.^[6] Daha sonraki kaynaklarda sıfır ve negatif sayıları ifade etme kuralları getirilmiştir.

Sıfır için yuvarlak sembol 〇ilk kez 1247 tarihli Dokuz Bölümlü Matematik Risalesinde belgelenmiştir.^[7] Bu sembolün kökeni bilinmemektedir; kare bir işaretin değiştirilmesiyle üretilmiş olabilir^[8]. Suzhou rakamları, çubuk rakamlarının bir devamıdır ve günümüzde hâlen bazı ticari amaçlarla kullanılmaktadır.

Ana sayı sistemleri

En yaygın kullanılan sayı sistemi onluk (decimal) sistemdir. Tam sayı versiyonunun geliştirilmesinde Hintli matematikçiler, özellikle Hint–Arap rakamları sistemi büyük rol oynamıştır.^[8] V. yüzyılda Kusumapura’dan Aryabhatabasamak-değer gösterimini geliştirdi, bir yüzyıl sonra Brahmagupta sıfır için sembolü tanıttı. Sistem ticaret ve askeri faaliyetler sayesinde yavaş yavaş Arabistan’a yayıldı. Orta Doğulu matematikçiler sistemi genişleterek 10’un negatif kuvvetlerini (kesirler) dahil ettiler. Bu, 952–953 yıllarında Suriyeli matematikçi Ebu’l-Hasan el-Uklidisi’nin eserinde kaydedildi. Ayrıca Sind ibn Ali ondalık nokta yazımını tanıttı ve Arap rakamları üzerine en eski risaleyi yazdı. Daha sonra Hint–Arap sistemi Avrupa’ya tüccarlar aracılığıyla geçti ve Avrupalılar bu rakamlara “Arap rakamları” dediler.

En basit sistem birli (unary) sayı sistemidir. Burada her doğal sayı ilgili sembollerin sayısıyla gösterilir. Örneğin, sembol / seçilirse, yedi sayısı /////// şeklinde yazılır. Çetele işaretleri (tally marks) bu sistemin günümüzde hâlâ kullanılan örneğidir. Birli sistem küçük sayılar için uygun olsa da teorik bilgisayar biliminde önemli rol oynar. Örneğin, Elias gamma kodlaması verileri sıkıştırmada kullanılır ve unary uzunluğu belirtmek için kullanılır.

Birli gösterim bazı yeni değerler için semboller eklenerek kısaltılabilir. Genellikle bu değerler 10’un kuvvetleridir. Örneğin, / — 1, − — 10, + — 100 ise, 304 sayısı +++ ////, 123 sayısı ise + − − /// şeklinde yazılır. Buna işaret–değer gösterimi denir. Eski Mısır sayı sistemi bu türdendi, Roma rakamları ise bunun bir değişikliğiydi.

Daha da kullanışlısı, sembollerin tekrarını kısaltmak için özel işaretler kullanan sistemlerdir. Örneğin, alfabenin ilk dokuz harfini kullanarak A — “bir kez”, B — “iki kez” anlamına gelirse, 304 sayısı C+ D/ şeklinde yazılabilir. Bu sistem Çin rakamlarında ve onlara dayalı diğer Doğu Asya rakamlarında kullanılır. İngilizce sayı sistemi de bu türdendir (“three hundred four”). Ancak bazı dillerde tabanlar karışıktır: örneğin Fransızcada 79 — soixante dix-neuf (60 + 10 + 9), Galcede pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)).

En gelişmişi konumsal sistemdir. Bu sistemler tabanına göre sınıflandırılır. Onluk sistemde 0–9 arası on rakam kullanılır ve rakamın konumu onun hangi 10’un kuvvetiyle çarpılacağını gösterir: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, yani 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Burada sıfır çok önemlidir, çünkü basamakları “atlamaya” olanak sağlar.

Aritmetik işlemler konumsal sistemlerde çok daha kolaydır. Toplamsal sistemlerde her basamak için ayrı semboller gerekirken, konumsal sistemde (onluk tabanda) sadece on sembol yeterlidir.^[10]

Günümüzde yazıda evrensel olarak onluk konumsal sistem kullanılmaktadır. Ayrıca bazı durumlarda 1000 tabanı da kullanılır; burada rakamlar üçlü gruplara ayrılır: örneğin 1,000,234,567.

Bilgisayarlarda temel sistem 2 tabanlı konumsal sistemdir (ikilik/binary). Bu sistemde sadece 0 ve 1 rakamları vardır. İkilik sistem üçlü gruplara ayrıldığında 8 tabanlı (sekizlik), dörtlü gruplara ayrıldığında 16 tabanlı (onaltılık) sistem elde edilir. Çok büyük sayılar için 2³² veya 2⁶⁴ tabanlı sistemler kullanılır.

Bazı biyolojik sistemlerde de birli sistem kullanılır. Örneğin, kuşların ötüşünü düzenleyen sinir devrelerinde unary kodlama görülür. Kuş beynindeki HVC merkezi öğrenme ve ötüşte rol oynar.

Rakamlar ikiye ayrılır: aritmetik rakamlar (0–9) ve geometrik rakamlar (1, 10, 100...). İşaret–değer sistemleri sadece geometrik rakamları, konumsal sistemler ise sadece aritmetik rakamları kullanır. Ancak konuşma dilinde her ikisi de kullanılır.

Bilgisayar biliminde bazen bijektif sayı sistemi denilen, değiştirilmiş k-tabanlı sistem kullanılır. Burada rakamlar 1, 2, …, k şeklindedir ve sıfır boş dize ile gösterilir. Bu yöntem tüm sayılar ile rakam dizileri arasında bire bir eşleme sağlar. Bijektif 1-tabanlı sistem unary sistemine denktir.

Konumsal sistemlerin ayrıntıları

Konumsal bir b tabanlı sayı sisteminde (b, 1’den büyük doğal sayı olup sistemin tabanı ya da radiksi olarak bilinir), sıfır dahil olmak üzere ilk b doğal sayıya karşılık gelen b temel sembol (rakam) kullanılır. Diğer sayılar ise sembollerin konumuna göre oluşturulur: en sağdaki rakam kendi değerini ifade eder, sola doğru kaydıkça değeri b ile çarpılır.

Örneğin, onluk sistemde (taban 10) 4327 sayısı şu şekilde ifade edilir: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), burada 10⁰ = 1.

Genel olarak, taban b olduğunda sayılar şu biçimde yazılır:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + aₙ₋₂bⁿ⁻² + ... + a₀b⁰ve rakamlar aₙ aₙ₋₁ ... a₀şeklinde sıralanır. Burada rakamlar 0 ile b – 1 arasındaki doğal sayılardır.

Eğer birden fazla taban tartışılıyorsa, karışıklığı önlemek için sayının yanına alt indisle taban yazılır:sayıtaban. Aksi belirtilmedikçe, alt indissiz sayılar onluk kabul edilir.

Nokta kullanılarak sayılar iki gruba ayrılır ve kesirler de yazılabilir. Örneğin, 2 tabanında 10.11 sayısı 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75 değerini ifade eder.

Genel olarak, b tabanlı sistemde sayılar şu biçimdedir:

Burada bᵏ ve b⁻ᵏ değerleri ilgili rakamların ağırlıklarıdır.k konumu ise ilgili ağırlığın logaritmasıdır:. En yüksek basamak sayının büyüklük mertebesine yakındır.

Birlik sisteminde (unary) ağırlığı göstermek için w adet işaret gerekirdi. Konumsal sistemde ise sadecerakam yeterlidir (k ≥ 0 için). Örneğin, 1000 ağırlığını göstermek için 4 rakam gerekir, çünkülog10 1000 + 1 = 3 + 1.

Bir sayı rasyonel ise konumsal açılımı ya sonlu ya da devirlidir. Bir tabanda sonlu olan sayı başka bir tabanda devreden olabilir (örn. 0.3₁₀ = 0.010011...₂). İrrasyonel sayılar ise tüm tabanlarda sonsuz ve tekrar etmeyen açılıma sahiptir. Örneğin, 2 tabanında π = 3.1415926...₁₀ şu şekilde yazılır: 11.001001000011111...₂.

Tekrarlayan kesirlerde tekrar eden rakamların üstüne çizgi (n) veya nokta (ṅ) konulması gelenektir. Örneğin:
14/11 = 1.272727... = 1.27321.321787878... = 321.32178

Eğer b = p asal sayı ise, sola doğru sonsuza kadar açılan p-tabanlı sayılar tanımlanabilir; bunlara p-adik sayılar denir.

Ayrıca, rakamların hem pozitif hem de negatif olabileceği b tabanlı varyant da mümkündür; buna işaretli-rakam gösterimi denir.