Позициялык жана позициялык эмес эсептөө системалары

Эсептөө системасы деген эмне?

Эсептөө системасы — бул сандарды белгилөө жана жазуу эрежелеринин жыйындысы. Ар бир системанын негизи жана цифралар жыйындысы болот. Мисалы, ондук системада негиз 10 болуп, цифралар жыйындысы 0–9дан турат.

Позициялык жана позициялык эмес айырмасы

Позициялык системаларда цифранын мааниси анын ордуна (разрядына) жараша аныкталат. Мисалы, 507 санында 5 — жүздүк, 0 — ондук, 7 — бирдикти билдирет. Позициялык эмес системаларда болсо цифра кайсы жерде турбасын анын мааниси өзгөрбөйт; сан мааниси цифралардын кошундусу же эрежелик комбинациясы аркылуу табылат.

Позициялык эмес системалар

• Штрих (tally) жазуусу: |||| = 4, |||| ||| = 7. Ар бир сызык дайыма 1ге барабар; орун маанилүү эмес.
• Рим цифралары: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Сандар көбүнчө кошуу (кээде азайтуу) эрежелери менен түзүлөт. Мисалы, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Байыркы мисир цифралары: бирдик, ондук, жүздүк белгилеринин кайталоочу кошундусу менен сан жазылат (позиция маанилүү эмес).

Позициялык эмес системаларда чоң сандарды жазуу көп цифраны талап кылат жана арифметикалык амалдар (айрыкча көбөйтүү/бөлүү) татаалдашат.

Позициялык системалар

Позициялык системада сан төмөнкүдөй көп мүчө түрүндө түшүндүрүлөт:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Шарт: 0 ≤ a_i < b

Бул жерде b — системанын негизи; мисалы, ондукта b=10, экиликте b=2, он алтылыкта b=16. 0 цифрасы позициялык системаларда абдан маанилүү: ал толтургуч жана жок маанини билдирүүчү цифра катары колдонулат.

• Ондук (b=10): күнүмдүк жашоодо, каржыда, өлчөөлөрдө стандарт.
• Экилик (b=2): компьютер логикасынын (0/1) жана санариптик электрониканын негизи.
• Сегиздик (b=8) жана он алтылык (b=16): бит топторун ыкчам көрсөтүү үчүн, программалоодо ыңгайлуу.
• Алтылык (b=6), бештик (b=5), жыйырмалык (b=20), алтымыштык (b=60): ар кыл маданияттарда жана тарыхый практикаларда жолугат (мисалы, убакыт жана бурч өлчөөдө 60тык).

Эмне үчүн позициялык системалар ыңгайлуу?

1. Ыкчам жазуу: бир эле маанини азыраак белгилер (цифралар) менен берүү мүмкүн.
2. Алгоритмдик арифметика: кошуу, азайтуу, көбөйтүү, бөлүү үчүн туруктуу, кайталануучу алгоритмдер бар.
3. Масштабдалуу: негиз өзгөрсө да жалпы эрежелер сакталат (орун мааниси, даражалар).

Позициялык эмес системаларда арифметика эмнеге кыйын?

• Кошундуга негизделген түзүлүш: цифралар кошулуп түзүлөт; көбөйтүү — кайталоочу кошуу, натыйжада жазуу татаалданат.
• Субтрактив эрежелер: Рим цифраларындагы IV, IX сыяктуу учурлар алгоритмдерди жөнөкөйлөтпөйт.
• 0 цифрасы жок же сейрек колдонулат: толтуруучу бош орун жоктугу системаны жалпылоого тоскоол болот.

Келгиле, айрым мисалдарды көрөлү:

• Римче → ондук: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• Экилик → ондук: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Ондук → он алтылык: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Ондук → экилик (бөлчөк): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (кайталоочу).

Кошумча: Көп кездешкен каталар

• Негизден чоң цифра колдонуу: мисалы, экиликте 2 же 3 боло албайт.
• Бөлчөк которуусун эрте токтотуу: катага көз салуу үчүн кадам санын жана тактыкты алдын ала белгилеп алуу керек.
• Рим цифраларындагы субтракцияны ашыра колдонуу: IL (49) сыяктуу жазуу стандарт боюнча туура эмес, чыныгы форма XLIX.

Позициялык эмес системалар тарыхый жана маданий жактан кызыктуу болгону менен, бүгүнкү илим жана техникада позициялык системалар практикалык жактан үстөмдүк кылат. Анын негизги күчү — орун мааниси, 0 цифрасы жана алгоритмдик арифметика. Которуу ыкмаларын билүү программалоо менен инженердик күнүмдүк ишти жеңилдетет.