logo

Эсептөө системасы

Эсептөө системасы — сандарды жазуу жолу, башкача айтканда, белгилүү бир сандар жыйынын белгилер же цифралар аркылуу иреттүү жана бирдей тартипте көрсөтүүгө кызмат кылган математикалык жазуу системасы.

Бир эле белгилер тизмеги ар кандай эсептөө системаларында ар башка маанини бере алат. Мисалы, "11" ондук эсептөө системасында (азыр дүйнөдө эң көп колдонулган) он бирди билдирет, экилик эсептөө системасында (заманбап компьютерлерде колдонулат) үчтү, ал эми бирдик эсептөө системасында (саноо-таяк ыкмасында) экөөнү көрсөтөт.

Белгинин билдирген саны анын мааниси деп аталат. Бардык эсептөө системалары бирдей сандар жыйынын көрсөтө албайт; мисалы, Рим, Грек жана Египет цифраларында нөлгө арналган белги болгон эмес.

Идеалдуу эсептөө системасы төмөнкү шарттарга ээ болушу керек:

  • Пайдалуу сандар жыйынын көрсөтүү (мисалы, бардык бүтүн же рационалдык сандар)
  • Ар бир санга өзүнө таандык, так көрсөтмө берүү (же болбосо стандарттык жазуу)
  • Сандардын алгебралык жана арифметикалык түзүлүшүн чагылдыруу

Мисалы, кадимки ондук эсептөө системасында нөлгө тең эмес ар бир натуралдык сан башында нөл эмес цифрадан башталган чектелген цифралар тизмеги аркылуу өзгөчө түрдө көрсөтүлөт.

Айрым учурда эсептөө системаларын сан системалары деп да аташат. Бирок бул аталыш так эмес, анткени ал башка математикалык системаларды да түшүндүрүшү мүмкүн: мисалы, чыныгы сандар системасы, комплекстүү сандар системасы, ар кандай гиперкомплекстүү системалар, p-аддик сандар системасы ж.б. Бирок бул макала мындай системалар тууралуу эмес.

Тарых

Окумуштуулардын айтымында, алгачкы эсептөө системалары ар кайсы цивилизациялардын ичинде ар түрдүү болгон: вавилондуктар 60-дык системаны колдонгон, мисирликтер иероглифтик сандарды иштеп чыккан, кытайлыктар таякча сандарды колдонушкан. Майялар болсо өз алдынча 20-лык системаны түзүп, анда нөл үчүн өзгөчө белги киргизишкен.

maya

Индиялык математиктер, мисалы VII кылымда жашаган Брахмагупта, арифметикалык эрежелерди системалаштырууда жана нөл түшүнүгүн калыптандырууда маанилүү ролду ойногон. Кийин ислам дүйнөсүндөгү окумуштуулар, анын ичинде Аль-Хорезми, бул идеяларды өркүндөтүшкөн. Эсептөө системалары өнүккөн сайын, позициялык жазуунун ыңгайлуулугу жана нөлдүн кошулушу азыркы сан жазуунун түзүлүшүнө, дүйнөлүк соода, илим жана технологияга зор таасир эткен.

Биринчи чыныгы жазма позициялык эсептөө системасы индия–араб эсептөө системасы болуп эсептелет. Бул система VII кылымда Индияда түзүлгөн[1], бирок азыркы формасында эмес эле, анткени нөл цифрасы али жалпы кабыл алынган эмес болчу. Нөлдүн ордуна кээде чекит коюлуп, же бош орун калтырылган. Нөлдүн алгач кеңири таанылган колдонулушу876-жылы катталган[2]. Баштапкы сандар азыркы сандарга абдан окшош болгон, цифраларды белгилеген тамгаларга чейин[1].

XIII кылымга чейин батыш араб сандары Европанын математикалык чөйрөлөрүндө кабыл ала баштаган. Мисалы, Фибоначчи аларды өзүнүн Liber Abaciэмгегинде колдонгон. Башында каршылыкка туш болсо да, индия–араб сандары эсептөөнүн ыңгайлуулугу менен, айрыкча банк жана соода тармагында, Европада кеңири жайылган.

XV кылымда басмакана ойлоп табылышы бул сандардын колдонулушун стандартташтырды, анткени басма математикалык китептер рим сандарына караганда ушул системаны артык көрүштү. XV кылымдын аягына чейин алар күнүмдүк турмушка кеңири кирген[3]. XX кылымдын аягына карата дүйнө жүзүндө компьютерсиз бардык эсептөөлөр араб сандары менен жүргүзүлүп, жергиликтүү сан системалары дээрлик колдонулбай калган.

XVII кылымда бул система илимий эмгектерде үстөмдүк кыла баштаган жанаИсаак Ньютон менен Рене Декарт сыяктуу окумуштуулардын математикалык ачылыштарына таасир эткен. XIX–XX кылымдарда араб сандарынын кеңири жайылышы глобалдык каржы, инженерия жана технологиянын өнүгүшүнө өбөлгө түзгөн, заманбап компьютер жана санариптик маалымат чагылдыруунун негизин салган.

Сандарды колдонгон башка тарыхый эсептөө системалары

maya

Майя сандарынын так жашы белгисиз, бирок алардын индия–араб системасынан да эски болушу мүмкүн. Бул система висизимал (20-лык) болуп, жыйырма белги камтыган. Майялар нөлдү көрсөтүү үчүн кабыкча символун колдонушкан. Сандар тик жазылып, бирдиктер ылдыйкы катарда жайгашкан. Майяларда азыркы ондук бөлгүчкө окшогон белги болбогондуктан, алардын системасы бөлчөк сандарды көрсөтө алган эмес.

Тай сандары индия–араб эсептөө системасына окшош, айырмасы — колдонулган белгилер башкача. Бул белгилер азыр Таиландда мурдагыдай көп колдонулбайт, бирок али да араб сандары менен катар колдонулат.[4]

rods

Таякча сандар — кытай жана жапон математиктери колдонгон жазма формасы, бул ондук позициялык система болуп эсептөөлөрдө пайдаланылган. Таякчалар эсеп тактасына коюлуп, алдыга же артка жылдыруу менен ондук разряд өзгөртүлгөн.

Б.з. III–V кылымдарына таандык Sūnzĭ Suànjīng аттуу математикалык эмгек бул системаны кеңири сүрөттөйт. Бул ыкма б.з.ч. IV кылымдан бери колдонулуп келген болушу мүмкүн деп эсептелет.[5] Башында нөл сан эмес, бош орун катары кабыл алынган.[6] Кийинки булактарда нөл жана терс сандарды көрсөтүү эрежелери киргизилген.

Нөл үчүн тегерек белги 〇биринчи жолу 1247-жылдагы Тогуз бөлүмдөн турган математикалык эмгекте кездешет.[7] Бул белгинин келип чыгышы белгисиз; балким, квадрат белги өзгөртүлүп жасалган болушу мүмкүн[8]. Сучжоу сандары, таякча сандардан тараган система болуп, бүгүнкү күндө да айрым соода иштеринде колдонулат.

Негизги эсептөө системалары

Эң көп колдонулган эсептөө системасы — ондук (decimal) система. Анын бүтүн сандык версиясын иштеп чыгууда индиялык математиктер, атап айткандаиндия–араб цифралары системасын түзүүдө чоң салым кошкон.[8] V кылымда Кусумпуралык Арьябхатаразряддык жазууну иштеп чыккан, бир кылымдан кийин Брахмагупта нөл белгисин киргизген. Бул система соода жана аскердик байланыштар аркылуу акырындык менен Арабияга тараган. Ортоңку Чыгыш математиктери системаны кеңейтип, 10-дун терс даражаларын (бөлчөктөрдү) кошушкан. Бул тууралуу 952–953-жылдары сириялык математик Абу-л-Хасан ал-Уқлидиси жазган. Ал эми Синд ибн Али ондук чекит жазуусун киргизип, араб цифралары жөнүндө алгачкы эмгек жазган. Кийин бул система соодагерлер аркылуу Европага тараган жана ал жакта бул цифралар “араб цифралары” деп аталып калган.

Эң жөнөкөй система — бирдик (unary) системасы. Анда ар бир натурал сан тиешелүү белгилердин саны менен көрсөтүлөт. Мисалы, белги катары / тандасак, жети саны /////// түрүндө жазылат. Эсеп сызыктары (tally marks) ушундай системанын азыркыга чейин колдонулган мисалы. Бирдик системасы кичине сандар үчүн гана ыңгайлуу, бирок теориялык информатикада маанилүү орунга ээ. Мисалы, маалыматтарды кысууда колдонулган Elias gamma коддоосу бирдик системасын пайдаланат.

Бирдик жазуу кээде жаңы маанилер үчүн өзүнчө белгилерди киргизүү менен кыскартылат. Көп учурда бул маанилер 10-дун даражаларына туура келет. Мисалы, / — 1, − — 10, + — 100 болсо, 304 саны +++ ////, ал эми 123 саны + − − /// түрүндө жазылат. Бул ыкма белги–маани жазуусу деп аталат. Байыркы Мисир сан системасы ушундай типке кирет, ал эми Рим цифралары анын өзгөртүлгөн варианты болгон.

Кээде белгилердин кайталанышын атайын кыскартуулар аркылуу көрсөтүү ыңгайлуу. Мисалы, алфавиттин алгачкы тогуз тамгасын колдонуп, A — “бир жолу”, B — “эки жолу” деген мааниде болсо, 304 санын C+ D/ түрүндө жазууга болот. Мындай система кытай жана чыгыш азиялык цифраларда колдонулат. Англис тилиндеги сан системасы да ушундай түргө кирет (“three hundred four”). Көптөгөн тилдерде негиздер аралаш колдонулат: мисалы, французчада 79 — soixante dix-neuf (60 + 10 + 9), ал эми уэлш тилинде — pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)).

Эң өнүккөнү — разряддык (позициялык) система. Мындай системалар негизине жараша классификацияланат. Ондук системада 0–9 чейин он цифра колдонулат, цифранын орду анын кайсы даражадагы 10 менен көбөйтүлөрүн билдирет: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, тактап айтканда 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Нөл бул жерде өтө маанилүү, анткени ал “разряддарды өткөрүп кетүүгө” мүмкүнчүлүк берет.

Арифметикалык амалдарды позициялык системада аткаруу кыйла жеңил. Кошумчалуу системаларда ар бир разряд үчүн өзүнчө белги керек болсо, позициялык системада болгону он белги жетиштүү.[10]

Азыркы учурда бүткүл дүйнөдө ондук позициялык система колдонулат. Айрым учурда 1000 негиз да пайдаланылат, анда цифралар үчтөн топтолот: мисалы, 1,000,234,567.

Компьютерлерде негизги система — 2 негиздүү позициялык система (экилик). Ал болгону эки цифрага — 0 жана 1ге таянат. Экиликти үчтөн топтоо аркылуу 8 негиздүү (сегиздик), төрттөн топтоо аркылуу 16 негиздүү (он алтылык) системалар алынат. Өтө чоң бүтүн сандар үчүн 2³² же 2⁶⁴ негиздүү системалар колдонулат.

Айрым биологиялык системаларда да бирдик системасы колдонулат. Мисалы, канаттуулардын сайрашын башкарган нейрондук чынжырларда unary код колдонулат. Канаттуулардын мээсиндеги HVC борбору үйрөнүү жана сайроодо маанилүү ролду ойнойт.

Цифралар эки түргө бөлүнөт: арифметикалык (0–9) жана геометриялык (1, 10, 100...). Белги–маани системалары геометриялык цифраларды, позициялык системалар арифметикалык цифраларды гана колдонот. Бирок оозеки тилде экөө тең колдонулат.

Информатикада кээде биектив эсептөө деп аталган өзгөртүлгөн k-негиздүү система колдонулат. Анда цифралар 1, 2, …, k болуп, нөл бош сап менен көрсөтүлөт. Бул система бардык сандар менен саптар арасында так шайкештик орнотот. Биектив 1-негиздүү система — бирдик системасына барабар.

© wikipedia, 2025

Адабияттар

  1. O'Connor, J. J. жана Robertson, E. F. Arabic Numerals (Араб цифралары). Январь 2001.
  2. Bill Casselman. "All for Nought" (Баары бекер). Feature Column. AMS. Февраль 2007.
  3. Bradley, Jeremy. "How Arabic Numbers Were Invented" (Араб цифралары кандай ойлоп табылган). theclassroom.com.
  4. "Wissanu rejects dumping Thai numerals" (Виссану тай цифраларын жокко чыгарууну четке какты). Bangkok Post. 31 Май 2022.
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2004). "Chinese numerals" (Кытай цифралары). University of St Andrews.
  6. Shen Kuo жана башкалар (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art (Математикалык искусствонун тогуз бөлүгү). Oxford University Press.
  7. "Mathematics in the Near and Far East" (Жакынкы жана Алыскы Чыгыштагы математика). grmath4.phpnet.us.
  8. Martzloff, Jean-Claude (2007). A History of Chinese Mathematics (Кытай математикасынын тарыхы).
  9. David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). The Hindu–Arabic numerals (Индо-араб цифралары).
  10. Chowdhury, Arnab. Design of an Efficient Multiplier using DBNS (DBNS негизинде натыйжалуу көбөйткүч долбоору). GIAP Journals.
  11. Fiete, I. R.; Seung, H. S. (2007). "Neural network models of birdsong..." (Куш ырларынын нейрондук тармак моделдери...) New Encyclopedia of Neuroscience (Жаңы нейроилим энциклопедиясында).

Булактар

  • Georges Ifrah. The Universal History of Numbers (Сандардын жалпы тарыхы). Wiley, 1999.
  • D. Knuth. The Art of Computer Programming (Компьютердик программалоо өнөрү). Addison–Wesley, 3-басылыш.
  • A.L. Kroeber. Handbook of the Indians of California (Калифорния индейлеринин колдонмосу). Smithsonian Institution.
  • J.P. Mallory; D.Q. Adams. Encyclopedia of Indo-European Culture (Индо-Европа маданияты энциклопедиясы).
  • Hans J. Nissen жана башкалар (1993). Archaic Bookkeeping (Архаикалык эсеп жүргүзүү). University of Chicago Press.
  • Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About (Жазуу кандайча пайда болгон). University of Texas Press.
  • Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts (Африка эсептейт). Chicago Review Press.