Санау жүйесі

Санау жүйесі

Санау жүйесі — сандарды жазбаша түрде бейнелеу тәсілі, яғни белгілі бір сандар жиынын цифрлар немесе таңбалар арқылы бірізді әрі жүйелі түрде көрсетуге арналған математикалық жазу жүйесі.

Бірдей таңбалар тізбегі әртүрлі санау жүйелерінде әртүрлі мағына беруі мүмкін. Мысалы, "11" жазуы ондық санау жүйесінде (бүгінде дүниежүзінде ең көп қолданылатыны) он бірді білдіреді, екілік санау жүйесінде (заманауи компьютерлерде қолданылады) үшті, ал бірлік санау жүйесінде (қол санақта) екіні көрсетеді.

Таңбаның білдіретін саны оның мәні деп аталады. Барлық санау жүйелері бірдей сандар жиынын көрсете алмайды; мысалы, Рим, Грек және Мысыр цифрларында нөл үшін арнайы таңба жоқ.

Идеалды санау жүйесі мынадай болуы керек:

• Пайдалы сандар жиынын көрсету (мысалы, барлық бүтін немесе рационал сандар)
• Әр санға бірегей, нақты бейнелеу беру (немесе стандартты жазу түрінде)
• Сандардың алгебралық және арифметикалық құрылымын бейнелеу

Мысалы, кәдімгі ондық санау жүйесінде нөлден басқа кез келген натурал сан басында нөл емес цифрдан басталатын шектеулі цифрлар тізбегі арқылы бірегей түрде көрсетіледі.

Кейде санау жүйелерін сан системалары деп те атайды. Бірақ бұл атау нақты емес, өйткені ол басқа да математикалық системаларды білдіруі мүмкін: мысалы, нақты сандар системасы, кешенді сандар системасы, гиперкомплекстік сандар системалары, p-аддик сандар системасы және т.б. Алайда, бұл мақала ондай системалар туралы емес.

Тарих

Ғалымдардың айтуынша, алғашқы санау жүйелері әр өркениетте әртүрлі болған: вавилондықтар 60-тық жүйені қолданған, мысырлықтар иероглифтік сандарды дамытқан, қытайлықтар таяқша сандарын пайдаланған. Майялар өз бетінше 20-лық (висизимал) жүйені жасап, онда нөл үшін арнайы белгі енгізген.

Үнді математиктері, мысалы VII ғасырда өмір сүрген Брахмагупта, арифметикалық ережелерді жүйелеуде және нөл ұғымын қалыптастыруда маңызды рөл атқарды. Кейінірек ислам әлеміндегі ғалымдар, соның ішінде Әл-Хорезми, бұл идеяларды жетілдірді. Санау жүйелері дамыған сайын, позициялық жазудың тиімділігі мен нөлдің енгізілуі қазіргі заманғы сандық жазудың қалыптасуына, сондай-ақ әлемдік сауда, ғылым мен технологияға үлкен әсер етті.

Алғашқы нағыз жазба позициялық санау жүйесі үнді–араб санау жүйесі болып саналады. Бұл жүйе VII ғасырда Үндістанда қалыптасқан^[1], бірақ ол заманауи түрінде емес еді, өйткені нөл цифры кеңінен қолданылмаған болатын. Нөлдің орнына кейде нүкте қойылған, немесе бос орын қалдырылған. Нөлдің алғаш кеңінен танылған қолданылуы876 жылы орын алды^[2]. Бастапқы сандар қазіргі сандарға өте ұқсас болған, тіпті цифрларды бейнелейтін таңбаларға дейін^[1].

XIII ғасырға қарай батыс араб сандары Еуропаның математикалық ортада қабылдана бастады. Мысалы, Фибоначчи оларды өзінің Liber Abaci еңбегінде қолданды. Алғашында қарсылық көргенімен, үнді–араб сандары есептеудегі тиімділігі арқасында, әсіресе банк ісі мен саудада, Еуропада кеңінен тарады.

XV ғасырда баспа станогының ойлап табылуы бұл сандардың қолданылуын стандарттады, себебі баспа математикалық еңбектер рим сандарына қарағанда осы жүйені таңдады. XV ғасыр соңына қарай олар күнделікті өмірде кеңінен қолданылды^[3]. XX ғасыр соңына қарай бүкіл әлемде компьютерсіз барлық есептеулер араб сандарымен жасалатын болды, ал жергілікті сан жүйелері іс жүзінде қолданылудан шықты.

XVII ғасырда бұл жүйе ғылыми еңбектерде үстемдік етіп, Исаак Ньютонмен Рене Декарт сияқты ғалымдардың математикалық жетістіктеріне әсер етті. XIX–XX ғасырларда араб сандарының кеңінен таралуы жаһандық қаржы, инженерия және технология дамуына жол ашты, заманауи компьютерлер мен сандық деректерді бейнелеудің негізін қалады.

Сандарды қолданған басқа тарихи санау жүйелері

Майя сандарының нақты жасы белгісіз, бірақ олардың үнді–араб санау жүйесінен де көне болуы мүмкін. Бұл жүйе висизимал (20-лық) болып, жиырма таңбадан тұрған. Майялар нөлді бейнелеу үшін қабықша символын қолданған. Сандар тік жазылып, бірліктер төменгі қатарға орналастырылған. Майяларда қазіргі ондық бөлгішке ұқсас белгі болмағандықтан, олардың жүйесі бөлшек сандарды көрсете алмаған.

Тай сандары үнді–араб санау жүйесіна ұқсас, тек таңбалары өзгеше. Бұл таңбалар қазіргі Таиландта бұрынғыдай жиі қолданылмайды, бірақ әлі де араб сандарымен қатар қолданылады.^[4]

Таяқша сандар — қытай және жапон математиктері қолданған жазба түрі, ондық позициялық жүйе ретінде ондық есептеулерде пайдаланылған. Таяқшалар санау тақтасына қойылып, алға не артқа жылжыту арқылы ондық разряд өзгертілген.

Б.з. III–V ғасырларына жататын Sūnzĭ Suànjīng атты математикалық еңбек бұл жүйені егжей-тегжейлі сипаттайды. Зерттеушілер оның кемінде б.з.д. IV ғасырдан бері қолданылып келгенін болжайды.^[5] Бастапқыда нөл сан емес, бос орын ретінде қабылданған.^[6] Кейінгі деректерде нөл мен теріс сандарды көрсету дәстүрлері енгізілген.

Нөл үшін дөңгелек белгі 〇алғаш рет 1247 жылғы Тоғыз бөлімнен тұратын математикалық еңбекте кездесті.^[7] Бұл белгінің шығу тегі белгісіз; ол шаршы таңбаны өзгерту арқылы пайда болуы мүмкін^[8]. Сучжоу сандары — таяқша сандардан тараған жүйе, ол әлі күнге дейін кейбір сауда салаларында қолданылады.

Негізгі санау жүйелері

Ең көп қолданылатын санау жүйесі — ондық (decimal) жүйесі. Бүтін сандар нұсқасын дамытуда үнді математиктері, атап айтқандаүнді–араб цифрлары жүйесін құруда ерекше рөл атқарды.^[8] V ғасырда Кусумпуралық Арьябхатаразрядтық жазуды енгізді, ал бір ғасырдан кейін Брахмагупта нөлдің белгісін енгізді. Бұл жүйе біртіндеп Үндістанмен сауда және әскери байланыстар арқылы Арабияға таралды. Орта Шығыс математиктері жүйені 10-ның теріс дәрежелерін (бөлшектерді) қосу арқылы дамытты. Мұны 952–953 жылдары сириялық математик Әбу-л-Хасан әл-Уқлидиси еңбегінде жазған. Ал Синд ибн Әли бөлшекке арналған ондық нүкте жазуын енгізді және араб цифрлары туралы алғашқы трактатты жазды. Кейін бұл жүйе Еуропаға саудагерлер арқылы таралып, Еуропада қолданылған таңбалар “араб цифрлары” деп аталды.

Ең қарапайым санау жүйесі — бірлік (unary) жүйесі, онда әрбір натурал сан сәйкес символдардың саны арқылы көрсетіледі. Мысалы, егер белгі ретінде / таңдалса, жеті саны /////// түрінде жазылады. Санау сызықшалары (tally marks) — осындай жүйенің бүгінге дейін қолданылатын үлгісі. Бірлік жүйесі тек шағын сандар үшін ыңғайлы, бірақ теориялық информатикада маңызды рөл атқарады. Мысалы, деректерді сығуда қолданылатын Elias gamma кодтауы бірлік жүйесін пайдаланады.

Бірлік жазуын жаңа мәндерге арнайы белгілер енгізу арқылы қысқартуға болады. Көбіне бұл мәндер 10-ның дәрежелері болады. Мысалы, / — 1, − — 10, + — 100 болса, онда 304 саны +++ ////, ал 123 саны + − − /// түрінде жазылады. Мұндай тәсіл белгі–мән жазуы (sign-value notation) деп аталады. Ежелгі Мысыр санау жүйесі осы түрге жатса, Рим цифрлары оның өзгертілген нұсқасы болды.

Тағы да тиімдісі — белгілер қайталануын қысқартатын жүйелер. Мысалы, әліпбидің алғашқы тоғыз әрпін қолданып, A — “бір рет”, B — “екі рет” деген мағынада алсақ, 304 санын C+ D/ деп жазуға болады. Мұндай жүйе қытай және шығыс азиялық цифрларда қолданылады. Ағылшын тіліндегі сан атауы да осы түрге жатады (“three hundred four”). Бірақ көптеген тілдерде негіздер араласып келеді: мысалы, французшада 79 — soixante dix-neuf (60 + 10 + 9), уэльш тілінде — pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)).

Ең жетілгені — разрядтық (позициялық) жүйе. Мұндай жүйелер негізіне қарай жіктеледі. Ондық жүйеде 0-ден 9-ға дейінгі он цифр қолданылады, цифрдың орны оның 10-ның қай дәрежесімен көбейтілетінін білдіреді: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, дәлірек айтқанда 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Нөл бұл жерде шешуші рөл ойнайды, себебі ол разрядтарды “өткізіп жіберуге” мүмкіндік береді.

Арифметикалық амалдарды позициялық жүйеде орындау әлдеқайда жеңіл. Қосу жүйелерінде әрбір разрядқа бөлек таңба қажет болса, позициялық жүйеде (ондық негізде) бар болғаны он таңба жеткілікті.^[10]

Қазіргі кезде бүкіл әлемде ондық позициялық жүйе қолданылады. Кейде 1000 негіз де пайдаланылады, онда цифрлар үштік топтарға бөлінеді: мысалы, 1,000,234,567.

Компьютерлерде басты жүйе — негізі 2 болатын позициялық екілік санау жүйесі. Ол екі цифрға — 0 және 1-ге сүйенеді. Екілік сандарды үштікке топтау арқылы сегіздік (негізі 8), төрттікке топтау арқылы он алтылық (негізі 16) жүйелер алынады. Өте үлкен бүтін сандар үшін 2³² немесе 2⁶⁴ негізді жүйелер қолданылады.

Кейбір биологиялық жүйелерде де бірлік жүйесі қолданылады. Мысалы, құстардың сайрауына жауап беретін жүйкелер тізбегінде unary кодтау кездеседі. Құс миындағы HVC орталығы үйрену және сайрауда маңызды рөл атқарады.

Цифрлар екі түрге бөлінеді: арифметикалық цифрлар (0–9) және геометриялық цифрлар (1, 10, 100...). Белгі–мән жүйелері тек геометриялық цифрларды, позициялық жүйелер тек арифметикалық цифрларды пайдаланады. Бірақ ауызекі тілде екеуі де қолданылады.

Информатикада кейде биективті санау жүйесі деп аталатын өзгертілген k-негізді жүйе қолданылады. Онда цифрлар 1, 2, …, k болып, нөл бос жолмен көрсетіледі. Бұл жүйе барлық сандар мен цифрлар жолдары арасында бірмәнді сәйкестік орнатады. Биективті 1-негізді жүйе — бірлік жүйесіне тең.