Позициялық және позициялық емес санау жүйелері

Санау жүйесі деген не?

Санау жүйесі — бұл сандарды таңбалау мен жазу қағидаларының жиынтығы. Кез келген жүйенің негізі және цифрлар жиыны болады. Мысалы, ондық жүйеде негіз 10, цифрлар жиыны 0–9-дан тұрады.

Позициялық және позициялық емес жүйелердің айырмасы

Позициялық жүйелерде цифрдың мәні оның орнына (разрядына) тәуелді. Мысалы, 507 санында 5 — жүздік, 0 — ондық, 7 — бірлік білдіреді. Позициялық емес жүйелерде цифр қай жерде тұрса да оның мәні өзгермейді; сан мәні цифрлардың қосындысы немесе ережелік комбинациясы арқылы табылады.

Позициялық емес жүйелер

• Штрих (tally) жазуы: |||| = 4, |||| ||| = 7. Әрбір сызық әрқашан 1-ге тең; орын маңызды емес.
• Рим цифрлары: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Сандар көбіне қосу (кейде азайту) қағидалары арқылы құралады. Мысалы, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Ежелгі мысыр цифрлары: бірлік, ондық, жүздік белгілерінің (цифрларының) қайталанатын қосындысы арқылы сан жазылады (позиция маңызды емес).

Позициялық емес жүйелерде үлкен сандарды жазу көп цифрды талап етеді және арифметикалық амалдар (әсіресе көбейту/бөлу) күрделенеді.

Позициялық жүйелер

Позициялық жүйеде сан келесі көпмүше түрінде түсіндіріледі:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Шарт: 0 ≤ a_i < b

Мұнда b — жүйе негізі; мысалы, ондықта b=10, екілікте b=2, он алтылықта b=16. 0 цифры позициялық жүйелерде маңызды: ол толтырғыш және нөлдік мәнді білдіретін цифр ретінде қолданылады.

• Ондық (b=10): күнделікті өмірде, қаржы мен өлшеулерде стандарт.
• Екілік (b=2): компьютер логикасының (0/1) және сандық электрониканың негізі.
• Сегіздік (b=8) және он алтылық (b=16): бит топтарын ықшам көрсетуге, бағдарламалау жүйелерінде ыңғайлы.
• Алтылық (b=6), бестік (b=5), жиырмалық (b=20), алпысдық (b=60): әртүрлі мәдениетте және тарихи тәжірибеде кездеседі (мысалы, уақыт пен бұрыштарда 60-тық).

Неліктен позициялық жүйелер қолайлы?

1. Ықшам жазу: бірдей мәнді аздау таңбамен (цифрлармен) көрсетуге болады.
2. Алгоритмдік арифметика: қосу, азайту, көбейту, бөлу үшін тұрақты, қайталанатын алгоритмдер бар.
3. Масштабталу: негіз өзгерсе де жалпы қағидалар сақталады (орын мәні, дәреже).

Позициялық емес жүйелерде арифметика неге қиын?

• Қосындыға негізделген құрылым: цифрлар қосылып құралады; көбейту — қайталама қосу, күрделі жазулар пайда болады.
• Субтрактив қағидалар: Рим цифрларында IV, IX сияқты жағдайлар алгоритмдерді жеңілдетпейді.
• 0 цифры жоқ немесе сирек қолданылады: толтыруға арналған бос орынның болмауы жүйені жалпылауға кедергі келтіреді.

Келіңіз, бірнеше мысалды қарайық:

• Римше → ондық: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• Екілік → ондық: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Ондық → он алтылық: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Ондық → екілік (бөлшек): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (қайталанатын).

Бонус: Жиі кездесетін қателер

• Негізден үлкен цифр қолдану: мысалы, екілікте 2 немесе 3 болуы мүмкін емес.
• Бөлшекті түрлендіруді ерте тоқтату: қателікті бақылау үшін қадам санын және дәлдікті алдын ала белгілеу қажет.
• Рим цифрларының субтракциясын шамадан тыс қолдану: IL (49) сияқты жазу стандарт бойынша дұрыс емес, шын мәнінде XLIX дұрыс.

Позициялық емес жүйелер тарихи және мәдени тұрғыдан қызықты болғанымен, бүгінгі ғылым мен техникада позициялық жүйелер практикалық тұрғыдан үстем. Олардың негізгі қуаты — орын мәні, 0 цифры және алгоритмдік арифметика. Түрлендіру әдістерін білу бағдарламалау мен инженерияда күнделікті жұмысты жеңілдетеді.