Позицион һәм позицион булмаған иҫәпләү системалары

Иҫәпләү системаһы нимә?

Иҫәпләү системаһы — һандарҙы билдәләү һәм яҙып барыу ҡағиҙәләре йыйылмаһы. Һәр система нигеҙгә (base) һәм цифрҙар йыйылмаһына эйә. Мәҫәлән, унарлы системала нигеҙ 10, цифрҙар 0–9.

Позицион һәм позицион булмаған айырмаһы

Позицион системаларҙа цифраның ҡиммәте уның урынына бәйле. Мәҫәлән, 507 һанында 5 — йөҙлөк, 0 — унлыҡ, 7 — берлек. Позицион булмаған системаларҙа иһә цифра ҡайҙа тороуына ҡарамаҫтан үҙ ҡиммәтен үҙгәртмәй; һандың ҡиммәте цифрҙарҙың йыйындыһы йәки ҡағиҙәле комбинацияһы буйынса иҫәпләнә.

Позицион булмаған системалар

• Штрих (tally) яҙыуы: |||| = 4, |||| ||| = 7. Һәр штрих ғәҙәттә 1-гә тиң; урын мөһим түгел.
• Рим һандары: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Һандар, башлыса, өҫтәү (ҡайһы саҡта кәметеү) ҡағиҙәләре менән төҙөлә. Мәҫәлән, VIII = 5+3 = 8, IX = 10−1 = 9, XL = 50−10 = 40.
• Боронғо Мысыр һандары: берлек, унлыҡ, йөҙлөк билдәләренең ҡабатланған йыйындыһы менән һан яҙыла (урын әһәмиәтле түгел).

Позицион булмаған системаларҙа ҙур һандарҙы яҙып күрһәтеү күп билдәләр талап итә һәм арифметик ғәмәлдәр (айырыуса күбәйтеү/бүлеү) ҡатмарлаша.

Позицион системалар

Позицион системала һан түбәндәге күбәйтмә-хәд (полином) рәүешендә аңлатыла:

(a_n a_{n-1} ... a_1 a_0)_b = a_n*b^n + a_{n-1}*b^{n-1} + ... + a_1*b + a_0
Шарт: 0 ≤ a_i < b

Бында b — система нигеҙе; мәҫәлән, унарлыла b=10, икелелә b=2, уналтылыла b=16. 0 цифраһы позицион системаларҙа бик мөһим: ул урын тултырғыс һәм “нуль ҡиммәте”н белдереүсе цифра булып ҡулланыла.

• Унарлы (b=10): көндәлек тормош, финанс, үлсәүҙәрҙә стандарт.
• Икеле (b=2): компьютер логикаһы (0/1) һәм цифрлы электрониканың нигеҙе.
• Һигеҙле (b=8) һәм уналтылы (b=16): бит төркөмдәрен йыйынсаҡ күрһәтеү, программалауҙа уңайлы.
• Алтылы (b=6), бишле (b=5), егермеле (b=20), алтмышлы (b=60): төрлө мәҙәниәт һәм тарихи практикала осрай (мәҫәлән, ваҡыт һәм мөйөш үлсәүҙәрендә алтмышлы).

Ни өсөн позицион системалар уңайлы?

1. Йыйынсаҡ яҙыу: Бер үк ҡиммәтте кәмерәк билдәләр менән күрһәтеп була.
2. Алгоритмлы арифметика: өҫтәү, кәметеү, күбәйтеү, бүлеү өсөн тотороҡло, ҡабатланғыс алгоритмдар бар.
3. Масштабланыу: Нигеҙ үҙгәрһә лә, дөйөм ҡағиҙәләр (урын ҡиммәте, дәрәжәләр) һаҡлана.

Позицион булмаған системаларҙа арифметика ни өсөн ҡатмарлы?

• Йыйынды нигеҙендә төҙөлөш: Цифрҙар өҫтәлә бара; күбәйтеү — ҡабатланған өҫтәү, яҙыуҙар ҡатмарлаша.
• Субтрактив ҡағиҙәләр: Рим һандарында IV, IX кеүек осраҡтар алгоритмдарҙы ябайлаштырмай.
• 0 цифраһы юҡ йәки һирәк ҡулланыла: Урын тултырғыс булмауы дөйөмләштереүҙе ауырайта.

Кәләйек, бер нисә миҫалға ҡарайыҡ:

• Римсә → унарлы: MCMLXXXIV = 1000 + (1000−100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5−1) = 1984.
• Икеле → унарлы: 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀.
• Унарлы → уналтылы: 255₁₀ → (FF)₁₆.
• Унарлы → икеле (кәсер өлөшө): 0.1₁₀ ≈ 0.0001100110011…₂ (даими ҡабатлана).

Бонус: Йыш осрайған хаталар

• Нигеҙҙән ҙурыраҡ цифраны ҡулланыу: мәҫәлән, икелелә 2 йә 3 булмай.
• Кәсер өлөшөн әйләндереүҙе иртә туҡтатыу: хата контроле өсөн аҙым һаны һәм аныҡлыҡты алдан билдәләргә кәрәк.
• Рим һандарында субтракцияны артыҡ ҡулланыу: IL (49) кеүек яҙылыш стандарттар буйынса дөрөҫ түгел, ысынлап та XLIX дөрөҫ.

Позицион булмаған системалар тарихи һәм мәҙәни яҡтан ҡыҙыҡлы булһа ла, хәҙерге фән һәм техникала позицион системалар практик яҡтан өҫтөн. Уларҙың көсө — урын ҡиммәте, 0 цифраһы һәм алгоритмлы арифметика. Әйләндереү ысулдарын белеү программалау һәм инженерлыҡта көндәлек эште ябайлаштыра.