Иҫәпләү системаһы

Иҫәпләү системаһы

Иҫәпләү системаһы — һандарҙы яҙма рәүештә күрһәтеү ысулы, йәғни билдәле һандар йыйылмаһын цифрҙар йәки башҡа билдәләр ярҙамында тәртипле һәм берҙәм формаҙа сағылдырыусы математик яҙма система.

Бер үк билдәләр теҙмәһе төрлө иҫәпләү системаларында төрлө мәғәнәгә эйә булыуы мөмкин. Мәҫәлән, "11"унарлы иҫәпләү системаһында (бөгөн донъяла иң йыш ҡулланылғаны) ун берҙе аңлата, икеле системала (замансала компьютерҙарҙа ҡулланыла) өс һанды, ә берлек системаһында (тамға һалыуҙа ҡулланыла) ике һанды белдерә.

Һанды күрһәтеүсе билдәнең мәғәнәһе уның ҡиммәте тип атала. Барлыҡ иҫәпләү системалары ла бер үк һандарҙы күрһәтеү мөмкинлеген бирмәй; мәҫәлән, Рим, Боронғо грек һәм Мысыр һандары нуль өсөн махсус билдәгә эйә түгел.

Идеаль иҫәпләү системаһы түбәндәгеләргә эйә булырға тейеш:

• Файҙалы һандар йыйылмаһын күрһәтеү (мәҫәлән, бөтә бөтөн йәки рациональ һандар)
• Һәр һанға үҙенсәлекле һәм аныҡ күрһәткес биреү (йәки кәм тигәндә стандарт форма)
• Һандарҙың алгебра һәм арифметика төҙөлөшөн сағылдырыу

Мәҫәлән, ғәҙәти унарлы системала нулдән айырмалы һәр натурал һан, нуль булмаған цифрҙан башланған сикле цифрҙар теҙмәһе аша үҙенсәлекле рәүештә күрһәтелә.

Ҡайһы берҙә иҫәпләү системаларын һандар системаһы тип тә атайҙар. Әммә был атама аныҡ түгел, сөнки ул башҡа математик системаларҙы ла аңлатырға мөмкин: ысын һандар системаһы, комплекслы һандар системаһы, төрлө гиперкомплекс системалар, p-адик һандар системаһы һ.б. Әммә был мәҡәлә шундай системалар тураһында түгел.

Тарих

Ғалимдәр фекеренсә, тәүге иҫәпләү системалары төрлө цивилизацияларда төрлөсә булған: бабилдар 60-лыҡ система ҡулланған, мисырҙар иероглиф һандарын эшләп сығарған, ҡытайҙар таяҡсан һандарҙы файҙаланған. Майялар иһә үҙаллы егермеле система төҙөп, унда нуль өсөн махсус билдә кереткән.

Һинд математиктары, мәҫәлән, VII быуатта йәшәгән Брахмагупта, арифметик ҡағиҙәләрҙе системалаштырыуҙа һәм нуль төшөнсәһен формалаштырыуҙа ҙур роль уйнаған. Артабан ислам донъяһындағы ғалимдар, шул иҫәптән Әл-Хорезми, был фекерҙәрҙе үҫтергән. Иҫәпләү системалары үҫешкән һайын, позицион яҙманың уңайлылығы һәм нулдең индерелеүе заманса һан яҙылышының формалашыуына, донъя сауҙаһына, фәнгә һәм технологияға ҙур йоғонто яһаған.

Беренсе ысын позицион яҙма система һинд–араб иҫәпләү системаһы тип иҫәпләнә. Ул VII быуатта Һиндостанда барлыҡҡа килгән^[1], әммә әле хәҙерге формаһында булмаған, сөнки нуль киң ҡулланылмаған. Нуль урынына ҡай саҡ нөктә ҡуйылған йәки бушлыҡ ҡалдырылған. Нульдең тәүге киң ҡулланылышы 876 йылда теркәлгән^[2]. Башланғыс һандар хәҙергеләргә ныҡ оҡшаш булған, хатта символдарына тиклем^[1].

XIII быуатҡа ҡарата көнбайыш араб һандары Европа математик даирәләрендә ҡабул ителә башлаған. Мәҫәлән, Фибоначчи уларҙы үҙенеңLiber Abaci исемле хеҙмәтендә ҡулланған. Башта ҡаршылыҡ булһа ла, һинд–араб һандары иҫәпләүҙәге уңайлылығы арҡаһында, айырыуса банк һәм сауҙала, Европала киң таралған.

XV быуатта баҫма станогы уйлап табылыуы был һандарҙы ҡулланыуҙы стандартлаштырған, сөнки баҫылған математика китаптары рим һандарына ҡарағанда ошо системаны һайлаған. XV быуат аҙағына улар көндәлек ҡулланышҡа ингән^[3]. XX быуат аҙағына бөтә донъя буйынса компьютерһыҙ иҫәпләүҙәр, ғәмәлдә, тик араб һандары менән башҡарылған, ә милли иҫәпләү системалары ҡулланыштан сыҡҡан.

XVII быуатта был система фәнни хеҙмәттәрҙә өҫтөнлөктө алған һәмИсаак Ньютон, Рене Декарт кеүек ғалимдарҙың асыштарына йоғонто яһаған. XIX–XX быуаттарҙа араб һандарының киң таралыуы донъя финансын, инженерияһын һәм технологияһын үҫтереүгә булышлыҡ иткән, заманса компьютерҙар һәм цифрлы мәғлүмәт күрһәтеүҙең нигеҙен һалҡан.

Һандарҙы ҡулланған башҡа тарихи иҫәпләү системалары

Майя һандарының төгәл йәше билдәһеҙ, әммә улар һинд–ғәрәп системаһынан да боронғораҡ булыуы ихтимал. Был система висизималь (егермеле) булған һәм егерме символ ҡулланған. Майялар нульде күрһәтеү өсөн ҡабыҡ символын файҙаланған. Һандар вертикаль яҙылған, берҙәр разряды аҫта урынлашҡан. Майяларҙа хәҙерге унарлы айырыусыға оҡшаш билдә булмаған, шуға күрә уларҙың системаһы өлөш һандарҙы күрһәтмәгән.

Тай һандары системаһы һинд–ғәрәп системаһына оҡшаш, айырмаһы — символдарында ғына. Был һандар Таиландта элекке кеүек киң ҡулланылмай, әммә әле лә ғәрәп һандары менән бергә ҡулланыла.^[4]

Таяҡсан һандар — ҡытай һәм япон математиктары файҙаланған яҙма формалар, улар унарлы позицион система булып иҫәпләүҙәр өсөн ҡулланылған. Таяҡсалар иҫәп таҡтаһына ҡуйылған һәм алға йәки артҡа һөрөлөп, разряд үҙгәртелгән.

Эрамыбыҙҙың III–V быуаттарына ҡараған Sūnzĭ Suànjīng тигән математик хеҙмәт был система тураһында ентекле мәғлүмәт бирә. Фәндә ул б.э.т. IV быуаттан уҡ ҡулланылған тип иҫәпләнә.^[5] Башта нуль һан түгел, ә буш урын тип ҡаралған.^[6] Һуңғы сығанаҡтарҙа нуль һәм кире һандарҙы күрһәтеү ҡағиҙәләре индерелгән.

Нуль өсөн түңәрәк символ 〇тәүге тапҡыр 1247 йылғы Туғыҙ бүлектән торған математик трактатта телгә алына.^[7] Был символдың килеп сығышы билдәһеҙ; ул, ихтимал, квадрат символды үҙгәртеп яһалған.^[8]. Сучжоу һандары, таяҡсан һандарҙың вариацияһы, бөгөн дә ҡайһы бер сауҙа маҡсаттарында ҡулланыла.

Төп иҫәпләү системалары

Иң киң таралған иҫәпләү системаһы — унарлы система. Бөтә цифрлы вариантын уйлап табыуҙа һинд математиктары ҙур роль уйнаған, улар һинд–ғәрәп цифрҙары системаһын төҙөгән.^[8] V быуатта Кусумпуранан Арьябхатаразряд-ҡиммәт яҙылышын уйлап тапҡан, ә бер быуаттан һуң Брахмагупта нуль билдәһен индергән. Система әкренләп һатыу һәм хәрби бәйләнештәр аша Ғәрәп иленә таралған. Урта Көнсығыш математиктары уны 10-дың кире дәрәжәләрен (өлөштәрҙе) индереп киңәйткән. Был турала 952–953 йылдарҙа сирий математигы Әбү-л-Хасан әл-Уҡлидиси яҙған.Синд ибн Али унарлы нөктә яҙылышын индергән һәм ғәрәп цифрҙары тураһында тәүге трактат яҙған. Европаға система сауҙа аша барып еткән, һәм унда был цифрҙар “ғәрәп цифрҙары” тип аталған.

Иң ябай система — берәмек (unary) системаһы. Унда һәр натурал һан шул уҡ һандағы символ менән күрһәтелә. Мәҫәлән, әгәр символ / булһа, 7 һаны /////// итеп яҙыла. Тиҫтер һыҙыҡтары (tally marks) — бөгөн дә ҡулланылған миҫал. Берәмек системаһы тик бәләкәй һандар өсөн генә уңайлы, әммә теоретик информатика өсөн әһәмиәтле. Мәҫәлән, мәғлүмәт ҡыҫҡартыуҙа ҡулланылған Elias gamma кодлауы unary системанан файҙалана.

Берәмек яҙылышын яңы ҡиммәттәр өсөн айырым билдәләр өҫтәп ҡыҫҡартырға мөмкин. Күпселек осраҡта был ҡиммәттәр 10-дың дәрәжәләре була. Мәҫәлән, / — 1, − — 10, + — 100 булһа, 304 һаны +++ ////, ә 123 һаны + − − /// итеп яҙыла. Был билдә–ҡиммәт яҙылышы тип атала. Боронғо Мысыр иҫәпләү системаһы ошо төргә ҡарай, ә Рим цифрҙары уның үҙгәртелгән формаһы булған.

Тағы ла уңайлыраҡ — символ ҡабатланыуын ҡыҫҡартыу өсөн махсус ҡыҫҡартыуҙар ҡулланған системалар. Мәҫәлән, алфавиттың тәүге туғыҙ хәрефен ҡулланып (A — бер тапҡыр, B — ике тапҡыр һ.б.), 304 һанын C+ D/ итеп яҙырға мөмкин. Бындай система Ҡытай һәм Көнсығыш Азия һандарында ҡулланылған. Инглиз телендәге иҫәпләү системаһы ла ошо төргә ҡарай (“three hundred four”).

Иң камилы — разрядлы (позицион) система. Системалар үҙенең нигеҙе буйынса классификациялана. Унарлы системала 0–9 цифрҙар ҡулланыла, цифраның урыны уның ниндәй 10 дәрәжәһе менән күбәйтеләсәген күрһәтә: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1, йәғни 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. Бында нуль бик мөһим, сөнки ул разрядтарҙы «үтеү» мөмкинлеген бирә.

Арифметик ғәмәлдәрҙе позицион системала башҡарыу күпкә еңелерәк. Ҡушыу системаларында һәр разряд өсөн айырым билдә кәрәк, ә унарлы позицион системала ун символ ғына етә.^[10]

Хәҙерге ваҡытта бөтә донъяла унарлы позицион система ҡулланыла. Шулай уҡ ҡайһы берҙә 1000 нигеҙе лә ҡулланыла (мәҫәлән: 1,000,234,567).

Компьютерҙарҙа төп система — икеле позицион система. Ул тик 0 һәм 1 цифрҙарына нигеҙләнгән. Икеле системаны өсәрләп төргәктәү һигеҙле, дүртәрләп төргәктәү уналтылы система бирә. Бик ҙур һандар өсөн 2³² йәки 2⁶⁴ нигеҙҙәре ҡулланыла.

Айырым биологик системаларҙа ла берәмек системаһы ҡулланыла. Мәҫәлән, ҡоштарҙың һайрауын көйләгән нейрон селтәрҙәрҙә. Ҡош мейеһендәге HVC үҙәге өйрәнеүҙә һәм тауыш сығарыуҙа ҡатнаша.

Цифрҙар ике төргә бүленә: арифметик (0–9) һәм геометрик (1, 10, 100...). Билдә–ҡиммәт системалары геометрик цифрҙарҙы ғына, позицион системалар арифметик цифрҙарҙы ғына ҡуллана. Әммә һөйләү телендә икәүһе лә ҡулланыла.

Информатика өлкәһендә ҡайһы берҙә модификацияланған k-нигеҙле система ҡулланыла, уны биектив иҫәпләү тип атайҙар. Унда цифрҙар 1, 2, …, k, ә нуль буш юл менән күрһәтелә. Биектив 1-нигеҙле система unary системаһына тиң.

Позицион системаларҙың тәфсилле аңлатмаһы

Позицион b нигеҙле иҫәпләү системаһында (b — 1-ҙән ҙур натураль һан, система нигеҙе йәки радикс тип атала) тәүге b натураль һанға, шул иҫәптән нульгә, тура килгән b символ (цифра) ҡулланыла. Ҡалған һандар цифраларҙың урыны буйынса барлыҡҡа килә: уң яҡтағы цифра үҙенең ҡиммәтенә эйә, һулға күскән һайын уның ҡиммәте b-ға тапҡырлана.

Мәҫәлән, унарлы системала (нигеҙ 10) 4327 һаны былай аңлатыла: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰), бында 10⁰ = 1.

Дөйөм алғанда, b нигеҙендә һан былай яҙыла:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰һәм цифрҙар aₙ aₙ₋₁ ... a₀ тәртиптә күрһәтелә. Цифрҙар — 0 менән b – 1 араһындағы натураль һандар.

Әгәр төрлө нигеҙҙәр тураһында һүҙ барһа, буталмаһын өсөн нигеҙ индекста күрһәтелә:һаннигеҙ. Әгәр күрһәтелмәһә, һан унарлы тип иҫәпләнә.

Нөктә ҡулланып, һандарҙы ике өлөшкә бүлеп, өлөшлөләрҙе лә яҙыу мөмкин. Мәҫәлән, 2 нигеҙендә 10.11 = 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75.

Дөйөм формула:

bᵏ һәм b⁻ᵏ — цифраларҙың ауырлыҡтары. Урын k — был ауырлыҡтың логарифмы. Иң ҙур урын һандың тәртибенә яҡын.

Унар системаһында ауырлыҡ өсөн w билдә кәрәк булыр ине. Позицион система өсөн бары тик logbw + 1 цифра етә. Мәҫәлән, 1000 өсөн 4 цифра кәрәк, сөнки log₁₀1000 + 1 = 4.

Рациональ һандарҙың яҙылышы йә тамамланған, йә периодик була. Иррациональ һандар һәр нигеҙҙә тамамланмаған, периодһыҙ була.

Периодик өлөшлөләрҙе күрһәтеү өсөн цифра өҫтөнә һыҙыҡ йәки нөктә ҡуйыла. Мәҫәлән: 14/11 = 1.2727... = 1.27.

Әгәр b = p ябай һан булһа, һулға ҡарай сикһеҙ дауам иткән p-адик һандар билдәләнә.

Шулай уҡ цифралар уңай йәки кире булыуы мөмкин булған вариант бар; ул билдәле цифралы күрһәтелеш тип атала.

Дөйөмләштерелгән үҙгәрмәһе оҙонлоҡло бөтөн һандар

Дөйөмрәк ҡараш — ҡатнаш нигеҙле яҙылышты ҡулланыу (бында little-endian рәүешендә). Мәҫәлән: a₀a₁a₂ тигәне a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂ тигәнде аңлата.

Был Punycode’та ҡулланыла. Унда теләгән ҙурлыҡтағы кире булмаған һандар теҙмәһе бүлгесһеҙ итеп 36 символдан ( a–z һәм 0–9 ) торған “цифралар” ярҙамында яҙыла. Улар 0–25 һәм 26–35 ҡиммәттәренә тура килә.

Һәр урында үҙенең t₀, t₁, ... тигән сикләү ҡиммәттәре бар. Әгәр aᵢ үҙ сикләүенән бәләкәй булһа, ул иң әһәмиәтле цифра була. Тимәк, был һан тамамланды тигәнде аңлата, ә артабанғы символ яңы һандың иң бәләкәй разряды була.

Мәҫәлән, беренсе цифра өсөн b = 1 булһа, a = 0 һан тамамланды тигәнде аңлата. Күпразрядлы һандарҙа тәүге цифра диапазоны b–9 (1–35) була. Тимәк, тәүге ауырлыҡ b₁ = 35. Дөйөм формула:
bₙ₊₁ = 36 − tₙ

Икенсе һәм өсөнсө цифралар өсөн сикләү c = 2 булһын. Унда икенсе цифра a–b (0–1) йә c–9 (2–35) диапазондарында була. Һәр ваҡыт (n+1)-се цифра ауырлығы алдагыһына 36 − tₙ тапҡыр була.

Мәҫәлән:
2-се символ ауырлығы = 36 − t₀ = 35
3-сө символ ауырлығы = 35 × (36 − t₁) = 35 × 34 = 1190

Шулай итеп, 3 разрядлы һандар рәтен алабыҙ:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 9a (35), bb (36), cb (37), ..., 9b (70), bca (71), ..., 99a (1260), bcb (1261), ..., 99b (2450)

Ғәҙәти n-ник системанан айырмалы, бында 9b кеүек һандар бар, унда 9 да, b ла 35 тип аңлата. Әммә яҙылыш ҡабатланмай, сөнки ac йәки aca ярамай — беренсе a һан тамамланғанды белдерә.

Сикләү ҡиммәттәрен һайлау мөмкинлеге төрлө ҙурлыҡтағы һандар йышлығына ҡарап цифралар һанын оптималләштерергә ярҙам итә.

Әгәр бөтә сикләү ҡиммәттәре 1 булһа, был биектив системаға тура килә. Унда нуль билдәләре айырыусы булып хеҙмәт итә.