نظام العد

نظام العد

نظام العد هو أسلوب لكتابة الأعداد، أي تدوين رياضي يتيح تمثيل مجموعة من الأعداد باستخدام أرقام أو رموز أخرى بطريقة متسقة ومنظمة.

قد تمثل نفس السلسلة من الرموز أعدادًا مختلفة في أنظمة عد مختلفة. فعلى سبيل المثال، "11"في النظام العشري (الأكثر شيوعًا عالميًا اليوم) يمثل العدد أحد عشر، وفي النظام الثنائي (المستخدم في الحواسيب الحديثة) يمثل العدد ثلاثة، أما في النظام الأحادي (المستخدم في العد بالعصي) فيمثل العدد اثنين.

العدد الذي يمثله الرمز يُسمى قيمته. علاوة على ذلك، ليست كل أنظمة العد قادرة على تمثيل نفس مجموعة الأعداد؛ فمثلًا، الأرقام الرومانية واليونانية والمصرية لا تحتوي على رمز للعدد صفر.

ينبغي أن يتصف نظام العد المثالي بما يلي:

• تمثيل مجموعة مفيدة من الأعداد (مثل جميع الأعداد الصحيحة أو النسبية)
• إعطاء كل عدد تمثيلًا فريدًا وواضحًا (أو على الأقل تمثيلًا قياسيًا)
• عكس البنية الجبرية والحسابية للأعداد

فعلى سبيل المثال، في النظام العشري المعتاد، يُعطى كل عدد طبيعي غير صفري تمثيلًا فريدًا على شكل سلسلة منتهية من الأرقام تبدأ برقم غير صفري.

تُسمى أنظمة العد أحيانًا أنظمة الأعداد، لكن هذا الاسم غير دقيق لأنه قد يشير إلى أنظمة أخرى من الأعداد، مثل نظام الأعداد الحقيقية، نظام الأعداد المركبة، أنظمة الأعداد فوق المركبة المختلفة، نظام الأعداد الـp-أديك، إلخ. ومع ذلك، فهذه المقالة لا تتناول تلك الأنظمة.

التاريخ

وفقًا للعلماء، اختلفت أنظمة العد الأولى بين الحضارات: استخدم البابليون نظامًا ستينيًا (أساسه 60)، وطوّر المصريون الأعداد الهيروغليفية، واستخدم الصينيون أعداد القضبان. أما حضارة المايا فقد أنشأت بشكل مستقل نظامًا عشرينيًا (أساسه 20) تضمن رمزًا للصفر.

لعب علماء الرياضيات الهنود، مثل براهماجوبتا في القرن السابع، دورًا حاسمًا في تقنين قواعد الحساب وإدخال مفهوم الصفر. لاحقًا طوّر علماء العالم الإسلامي، ومنهم الخوارزمي، هذه الأفكار. ومع تطور أنظمة العد، ساعدت كفاءة التدوين الموضعي وإضافة الصفر في تشكيل التمثيل العددي الحديث، مؤثرةً على التجارة والعلم والتكنولوجيا عالميًا.

أول نظام عد موضعي مكتوب حقيقي يُعتبر النظام الهندي–العربي. نشأ هذا النظام في الهند في القرن السابع^[1]، لكنه لم يكن بعد بصورته الحديثة، إذ لم يكن استخدام الصفر شائعًا بعد. بدلًا من الصفر كانت تُستخدم النقاط أحيانًا أو يُترك فراغ كإشارة. أول استخدام واسع للصفر سُجل في عام 876^[2]. وكانت الأرقام الأصلية شبيهة جدًا بالأرقام الحديثة، حتى في شكل الرموز^[1].

بحلول القرن الثالث عشر، أصبحت الأرقام العربية الغربية مقبولة في الأوساط الرياضية الأوروبية. فقد استخدمها فيبوناتشي في كتابه Liber Abaci. ورغم المقاومة الأولية، إلا أن الأرقام الهندية–العربية انتشرت في أوروبا بفضل كفاءتها في العمليات الحسابية، خاصةً في البنوك والتجارة.

ساعد اختراع الطباعة في القرن الخامس عشر على توحيد استخدامها، إذ فضلت الكتب الرياضية المطبوعة هذه الأرقام على الأرقام الرومانية. وبحلول نهاية القرن الخامس عشر دخلت حيز الاستخدام العام^[3]. وبحلول نهاية القرن العشرين كانت جميع العمليات الحسابية غير الحاسوبية في العالم تُجرى بالأرقام العربية، بعد أن استُبدلت معظم أنظمة العد المحلية.

في القرن السابع عشر أصبح النظام مهيمنًا في الأعمال العلمية، مؤثرًا في تطورات رياضية لأعلام مثل إسحاق نيوتن ورينيه ديكارت. وفي القرنين التاسع عشر والعشرين، ساعد الانتشار الواسع للأرقام العربية على تطور التمويل والهندسة والتكنولوجيا عالميًا، مؤسسًا لأساس الحوسبة الحديثة وتمثيل البيانات الرقمية.

أنظمة عد تاريخية أخرى باستخدام الأرقام

العمر الدقيق لـأرقام المايا غير واضح، لكن من الممكن أنها أقدم من النظام الهندي–العربي. كان النظام عشرينيًا (أساسه 20)، ويحتوي على عشرين رقمًا. استخدم المايا رمز الصدفة لتمثيل الصفر. كانت الأرقام تُكتب عموديًا، مع خانة الآحاد في الأسفل. لم يكن لدى المايا ما يعادل الفاصل العشري الحديث، ولذلك لم يتمكن نظامهم من تمثيل الكسور.

نظام العد التايلاندي مطابق للنظام الهندي–العربي باستثناء الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. استخدام هذه الأرقام في تايلاند اليوم أقل شيوعًا مما كان عليه سابقًا، لكنها لا تزال تُستعمل بجانب الأرقام العربية.^[4]

أرقام القضبان، وهي الأشكال المكتوبة لعصي العد التي كان يستخدمها علماء الرياضيات الصينيون واليابانيون، كانت نظامًا عشريًا موضعيًا لأداء الحسابات العشرية. كانت القضبان توضع على لوح العد وتُحرك للأمام أو للخلف لتغيير قيمة الخانة العشرية.

يقدم المؤلف الرياضي Sūnzĭ Suànjīng، الذي يعود تاريخه إلى القرنين الثالث والخامس الميلاديين، تعليمات مفصلة حول هذا النظام، ويُعتقد أنه استُخدم منذ القرن الرابع قبل الميلاد على الأقل.^[5] لم يُعتبر الصفر في البداية عددًا، بل موقعًا فارغًا.^[6] وفيما بعد أُدخلت قواعد للتعبير عن الصفر والأعداد السالبة.

أول استخدام مثبت للرمز الدائري 〇 لتمثيل الصفر وُجد في المعاهدة الرياضية في تسعة أقسام عام 1247م.^[7] أصل هذا الرمز غير معروف؛ قد يكون نتج عن تعديل رمز مربع^[8]. أما أرقام سوتشو، وهي امتداد لأرقام القضبان، فما زالت تُستخدم حتى اليوم لأغراض تجارية معينة.

أنظمة العد الرئيسية

أكثر أنظمة العد استخداماً هو النظام العشري. ويُنسب تطوير نسخته الصحيحة إلى علماء الرياضيات الهنود، الذين ابتكروا نظام العد الهندي–العربي.^[8] في القرن الخامس طوّر أريابهاتا من كوسومابورا تدوين القيمة المكانية، وبعد قرن قدّم براهماجوبتا رمز الصفر. انتشر النظام تدريجياً إلى الجزيرة العربية بسبب الأنشطة التجارية والعسكرية مع الهند. علماء الرياضيات في الشرق الأوسط وسّعوا النظام ليشمل القوى السالبة للعدد 10 (الكسور)، كما ورد في مؤلف العالم السوري أبو الحسن الأوقليدسي عام 952–953.سند بن علي قدّم التدوين باستخدام النقطة العشرية وكتب أقدم رسالة عن الأرقام العربية. انتقل النظام إلى أوروبا عبر التجار، وأطلق الأوروبيون على هذه الأرقام اسم “الأرقام العربية”.

أبسط نظام هو النظام الأحادي (unary)، حيث يُمثَّل كل عدد طبيعي بعدد مكافئ من الرموز. على سبيل المثال، إذا استُخدم الرمز /، فإن العدد 7 يُكتب ///////. علامات العد (tally marks) مثال حي على هذا النظام. النظام الأحادي مناسب فقط للأعداد الصغيرة، لكنه ذو أهمية كبيرة في علم الحاسوب النظري. على سبيل المثال، يُستخدم ترميز إلياس غاما لضغط البيانات ويعتمد على النظام الأحادي لتحديد طول العدد الثنائي.

يمكن اختصار التدوين الأحادي بإدخال رموز جديدة لقيم معينة، وغالباً ما تكون قوى العدد 10. مثلاً إذا كان / = 1، − = 10، + = 100، فإن العدد 304 يُكتب +++ ////، والعدد 123 يُكتب + − − ///. يُسمى هذا ترميز القيمة–الرمز. وكان نظام العد المصري القديم من هذا النوع، بينما كان النظام الروماني تعديلاً له.

الأنظمة الأكثر فائدة هي التي تستخدم اختصارات للتكرار. مثلاً، إذا استُخدمت الحروف التسعة الأولى من الأبجدية (A = مرة واحدة، B = مرتين ...)، فإن العدد 304 يمكن أن يُكتب C+ D/. هذا النظام يُستخدم في الأرقام الصينية وغيرها من أنظمة شرق آسيا. كما أن اللغة الإنجليزية من هذا النوع (“three hundred four”). لكن كثيراً من اللغات تستخدم قواعد مختلطة، مثل الفرنسية 79 = soixante dix-neuf (60 + 10 + 9).

النظام الأكثر تقدماً هو نظام العد الموضعي. تُصنَّف الأنظمة حسب الأساس. في النظام العشري تُستخدم الأرقام 0–9، ومكان الرقم يحدد قوة العدد 10 المضروبة فيه: 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 = 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. الصفر عنصر أساسي هنا لأنه يسمح بتجاوز المنازل.

العمليات الحسابية في الأنظمة الموضعية أسهل بكثير من الأنظمة الإضافية، التي تحتاج إلى رموز عديدة لقوى العدد 10 المختلفة. بينما النظام العشري يحتاج فقط إلى عشرة رموز.^[10]

اليوم يُستخدم النظام العشري الموضعي عالمياً في الكتابة. وأحياناً يُستخدم الأساس 1000، حيث تُجمع الأرقام ثلاثياً (مثلاً: 1,000,234,567).

في الحواسيب، النظام الأساسي هو الثنائي (الأساس 2)، ويعتمد على الرقمين 0 و 1. تجميع الأرقام الثنائية كل 3 يعطي النظام الثماني، وكل 4 يعطي النظام السداسي عشر. وللأعداد الكبيرة جداً يُستخدم الأساس 2³² أو 2⁶⁴.

في بعض الأنظمة البيولوجية يُستخدم أيضاً النظام الأحادي. مثلاً، في الدوائر العصبية المسؤولة عن غناء الطيور. مركز HVC في دماغ الطيور يشارك في التعلم والإنتاج الصوتي.

الأعداد تُقسم إلى نوعين: حسابية (0–9) وهندسية (1، 10، 100...). الأنظمة الرمزية–القيمية تستخدم الأعداد الهندسية فقط، والأنظمة الموضعية تستخدم الأعداد الحسابية فقط. أما في اللغة المنطوقة فيُستخدم الاثنان معاً.

في بعض مجالات علم الحاسوب يُستخدم نظام معدل ذو أساس k يسمى الترقيم التبايني (bijective numeration). أرقامه 1، 2، …، k، ويُعبَّر عن الصفر بسلسلة فارغة. النظام التبايني ذو الأساس 1 يعادل النظام الأحادي.

الأنظمة الموضعية بالتفصيل

في نظام عد موضعي ذي أساس b (b عدد طبيعي أكبر من 1، يُعرف بالأساس)، تُستخدم b رموز أساسية (أرقام) تمثل الأعداد الطبيعية من 0 حتى b – 1. قيمة الرقم تعتمد على موضعه: الرقم في أقصى اليمين له قيمته، وكلما انتقل لليسار ضُربت قيمته في b.

على سبيل المثال، في النظام العشري (الأساس 10)، العدد 4327 يعني: (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)، حيث 10⁰ = 1.

بشكل عام، العدد في نظام أساس b يكتب هكذا:
aₙbⁿ + aₙ₋₁bⁿ⁻¹ + ... + a₀b⁰والأرقام aₙ aₙ₋₁ ... a₀ مرتبة تنازلياً. الأرقام تقع بين 0 و b – 1.

عند مناقشة عدة قواعد، ولتفادي الالتباس، يُكتب الأساس كمؤشر سفلي:العددالأساس. إذا لم يُحدد، فيُعتبر العدد عشرياً.

باستخدام النقطة يمكن كتابة الكسور. مثلاً، العدد 10.11 في النظام الثنائي يعني: 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 2.75.

بشكل عام، الأعداد في أساس b لها الشكل:

القيم bᵏ و b⁻ᵏ هي أوزان الأرقام. الموضع k هو لوغاريتم الوزن. أكبر موضع يعبر عن مرتبة العدد.

في النظام الأحادي يلزم w علامات لتمثيل الوزن. في النظام الموضعي يكفي logbw + 1 أرقام. مثلاً، العدد 1000 يحتاج إلى 4 أرقام لأن log₁₀1000 + 1 = 4.

العدد النسبي له دائماً تمثيل منتهٍ أو دوري. قد يكون العدد منتهياً في أساس ودورياً في آخر (مثل 0.3₁₀ = 0.010011...₂). العدد غير النسبي يبقى غير دوري في جميع الأسس (مثل π).

يُستخدم الخط فوق الأرقام (27) أو النقاط لتمثيل التكرار. مثلاً: 14/11 = 1.2727... = 1.27.

إذا كان b = p عدداً أولياً، يمكن تعريف أعداد ذات توسع لا نهائي إلى اليسار؛ تُسمى أعداد p-أديك.

كما يمكن تعريف نسخ من أساس b حيث تكون الأرقام موجبة أو سالبة؛ يُسمى ذلك التمثيل بالأرقام الموقعة.

الأعداد الصحيحة ذات الطول المتغير (المعممة)

النهج الأكثر عمومية هو استخدام نظام أساس مختلط (هنا مكتوب بأسلوب little-endian)، مثل: a₀a₁a₂ لتمثيل a₀ + a₁·b₁ + a₂·b₁·b₂ وهكذا.

يُستخدم هذا في Punycode، حيث يتم تمثيل تسلسل من الأعداد الصحيحة غير السالبة بأي حجم كسلسلة بلا فواصل، باستخدام «أرقام» من مجموعة مكونة من 36 رمزًا: a–z و 0–9، تمثل القيم من 0–25 و 26–35 على التوالي.

هناك أيضًا ما يسمى بالقيم الحدية t₀, t₁, ... المثبتة لكل موضع من الرقم. إذا كان الرقم aᵢ في موضعه أقل من قيمته الحدية tᵢ، فإنه يُعتبر الرقم الأكثر أهمية. هذا يشير إلى نهاية العدد، والرمز التالي (إن وُجد) هو الرقم الأقل أهمية للعدد التالي.

على سبيل المثال، إذا كانت القيمة الحدية للرقم الأول b = 1، فإن a = 0 يشير إلى نهاية العدد (أي رقم مكون من خانة واحدة). وبالتالي، في الأعداد متعددة الخانات، يكون مجال الرقم الأول فقط من b–9 (1–35). وهنا يصبح الوزن b₁ = 35 بدلاً من 36. بشكل عام، إذا كان tₙ هو الحد للرقم n، فإن:
bₙ₊₁ = 36 − tₙ

لنفترض أن القيم الحدية للرقمين الثاني والثالث c = 2. حينها يكون مجال الرقم الثاني a–b (0–1) إن كان هو الرقم الأهم، و c–9 (2–35) إن وُجد رقم ثالث. وبشكل عام، وزن الرقم (n + 1) يساوي وزن الرقم السابق مضروبًا في 36 − tₙ.

مثال:
وزن الرمز الثاني = 36 − t₀ = 35
وزن الرمز الثالث = 35 × (36 − t₁) = 35 × 34 = 1190

إذن لدينا التسلسل التالي من الأعداد (بحد أقصى 3 خانات):
a (0)، ba (1)، ca (2)، ...، 9a (35)، bb (36)، cb (37)، ...، 9b (70)، bca (71)، ...، 99a (1260)، bcb (1261)، ...، 99b (2450)

بخلاف أنظمة العد التقليدية، هناك أعداد مثل 9b حيث يرمز كل من 9 و b إلى القيمة 35. ومع ذلك، يظل التمثيل فريدًا، لأن ac و aca غير مسموح بهما — فالحرف الأول a كان سيشير إلى نهاية العدد.

المرونة في اختيار القيم الحدية تتيح تحسين عدد الخانات حسب تكرار ظهور الأعداد ذات الأحجام المختلفة.

الحالة التي تكون فيها جميع القيم الحدية مساوية لـ 1 تتوافق مع الترقيم التبايني، حيث تعمل الأصفار كفواصل بين الأعداد.